Очный отборочный этап

Класс

 

1. Склонение двух звёзд одинаково и равно +40°. Прямое восхождение одной звезды равно 04h 00m, а другой — 07h 30m. Найдите угловое расстояние между звёздами на небе. Какая из звёзд и насколько раньше зайдёт за горизонт для наблюдателя в Новосибирске (55° с.ш., 83° в.д.)? А в Мурманске (69° с.ш., 33° в.д.)?

Решение

Сначала ответим на вопросы второй части задачи, они проще. Вообще разница моментов захода двух звёзд с одинаковым склонением определяется разностью их прямых восхождений, и очевидный ответ на вопрос задачи – первая звезда зайдёт на 3 часа 30 минут раньше второй. Однако здесь есть «подводные камни».

Стоит обратить внимание, что широты наблюдателей достаточно высоки, и склонение двух звёзд достаточно большое. Действительно, простые расчёты высот нижних кульминаций показывают, что для Новосибирска, а тем более для Мурманска, обе эти звезды оказываются незаходящими. Таким образом, ответ на вторую часть задачи – обе эти звезды никогда не зайдут.

Для расчёта расстояний также есть простой и не очень верный путь – посчитать расстояние как разницу прямых восхождений с учётом изменения радиуса малого круга: α = ΔRA · cos δ = 40,22°.

Однако этот ответ не совсем верен, поскольку расстояние нужно считать по дуге большого круга небесной сферы. Из малого круга можно посчитать величину хорды, соединяющей эти две точки: L = 2 · R cos δ · sin (ΔRA/2). Здесь R – это гипотетический радиус небесной сферы, который в конце расчётов, разумеется, сократится.

Центральный угол большого круга, опирающийся на эту же хорду, вычисляется аналогично: L = 2 · R · sin (α/2). Получаем: sin (α/2) = cos δ · sin (ΔRA/2), откуда α = 39,6°.

 

 

1. Астроном из окрестностей Юпитера наблюдает Меркурий в максимуме элонгации. Сможет ли он разглядеть его невооружённым глазом? Телескоп с какими параметрами ему нужен, чтобы наблюдать Меркурий в виде диска, а не точки? Угловое разрешение глаза можно принять равным 1', телескоп считаем равнозрачковым, диафрагмы нет.

Решение

Для наблюдателя с Земли Меркурий в максимуме элонгации имеет звёздную величину –0,1^m. При наблюдении с Юпитера изменяется только расстояние от Меркурия до наблюдателя, остальные существенные факторы (расстояние от Солнца, альбедо, фаза) не изменяются.

Расстояние в максимуме элонгации от Земли до Меркурия равно (1² – 0,4²)^1/2 = 0,916 а.е., а от Юпитера до Меркурия в этой конфигурации (5,2² – 0,4²)^1/2 = 5.18 а.е. Соответственно, для юпитерианских астрономов Меркурий будет тусклее в (5,18/0,916)² = 32 раза, то есть на 2,5lg32 = 3,8^m.

В итоге видимая звёздная величина Меркурия (+3,7^m) вполне достаточна для наблюдения невооружённым глазом. Правда, на небе в окрестностях Юпитера Меркурий будет крайне близко к Солнцу (максимальный угол элонгации не превышает 5°), что, конечно, сделает наблюдения достаточно сложными.

Видимый угловой размер Меркурия равен 4880 км / 5,18 а.е. = 1,3". Чтобы разглядеть его диском, угловой размер после увеличения должен составлять как минимум 1' = 60". То есть нам нужен телескоп с коэффициентом углового увеличения k = 60 / 1,3 = 46.

Равнозрачковый телескоп (d = 6 мм) без диафрагмы и с коэффициентом увеличения k = 46 имеет диаметр входного отверстия D = k · d = 276 мм. 300-миллиметрового телескопа точно хватит.

 

 

1. Самолёт летит из Новосибирска (55° с.ш., 83° в.д.) в Москву (56° с.ш., 37,5° в.д.). Найдите кратчайшее расстояние между городами по поверхности Земли и среднюю скорость самолёта, если местное время взлёта и посадки оказалось одинаковым. Москва расположена в часовом поясе UTC+3, Новосибирск – UTC+7.

Решение

Поскольку разница широт Новосибирска и Москвы достаточно малая, ей можно пренебречь, и считать, что точки старта и приземления самолёта находятся на одной параллели (для определённости, 55°). К слову, московский аэропорт Домодедово имеет широту 55°25', а новосибирский Толмачёво – 55°01', так что погрешность не превышает половины градуса.

Кратчайшее расстояние – это дуга большого круга с центром в центре Земли.

Из малого круга параллели 55° можно посчитать величину хорды, соединяющей точки старта и финиша: L = 2 · R cos 55° · sin ((83° - 37,5°)/2). R – радиус Земли. Центральный угол большого круга, опирающийся на эту же хорду, вычисляется аналогично: L = 2 · R · sin (α/2), где α – «угловое» расстояние между точками на поверхности Земли.

Получаем: sin (α/2) = cos 55° · sin 23,25°, откуда α = 25,6°.

Расстояние в километрах считается как R · α (рад) = 2850 км.

Если местное время взлёта и посадки одинаково, значит, самолёт летит ровно 4 часа (разница часовых поясов). Скорость самолёта = 2850 / 4 = 712 км/ч.

В реальности, при полёте из Новосибирска в Москву практически такая ситуация и наблюдается. Время посадки отличается от времени взлёта максимум на 15-20 минут. Обратно лететь, разумеется, гораздо менее удобно.

 

                                                

1. Астероид (20461) Диоретса вращается по ретроградной орбите с большой полуосью, равной 24 а.е. Найдите период между противостояниями астероида с точки зрения земного наблюдателя. Как вы думаете, почему астероид был так назван?

Решение

Сидерический период спутника по закону Кеплера равен (24)^3/2 = 117,6 лет.

Синодический период можно найти из формулы 1/S = 1/T + 1/Z. Здесь S – искомый синодический период, Т – сидерический период, Z – период планеты наблюдателя (1 год). Знак «+» в формуле появился именно из-за ретроградного (обратного) направления движения астероида по орбите, в случае «обычных» астероидов в формуле будет разность.

В итоге получаем период между противостояниями (синодический) чуть меньше 1 земного года – 365,04 суток.

Астероид (20461) был первым из обнаруженных астероидов с ретроградной орбитой. Именно по этому свойству он и был назван: «Диоретса» – это просто «астероид» наоборот.

 

 

1. Периодически в средствах массовой информации появляется предупреждение о грядущем взрыве звезды Бетельгейзе (альфа Ориона). Утверждается, что в максимуме блеска сверхновая будет сиять, как полная Луна. В то же время, модели учёных показывают, что яркость звезды «на пике» взрыва увеличится примерно в 10 тысяч раз по сравнению с яркостью в настоящее время. Определите «пиковую» видимую звёздную величину Бетельгейзе-сверхновой. Во сколько раз она на самом деле будет ярче или тусклее Луны в полнолуние? В настоящее время видимая звёздная величина Бетельгейзе составляет в среднем +0,7m.

Решение приведено в разделе «9 класс»

 

 

1. Эксцентриситет кометы I2/Borisov равен 3,36. Найдите отношение её максимальной и минимальной орбитальных скоростей.

Решение

Комета Борисова летит по незамкнутой гиперболической орбите, и эксцентриситет у неё существенно больше единицы.

Максимальная скорость – это скорость в перигелии орбиты, она вычисляется по обычной формуле, работающей для всех типов орбит: Vп = (GM/R_П · (1+e))^1/2.

Минимальная скорость достигается на бесконечном удалении от Солнца и вычисляется по закону сохранения энергии:

E = mV_∞²/2 = mV_П²/2 – GMm / R_П = GMm / 2R_П · (1 + e – 2) = GMm / 2R_П · (e – 1)

Отсюда V_min = V_∞ = V_П · [ (e+1)/(e-1) ]^1/2, и их отношение равно (4,36/2,36)^1/2 = 1,36.

 

Всесибирская открытая олимпиада
школьников по астрономии