Дифракция плоских волн на щели (дифракция Фраунгофера)

Дифракция в параллельных лучах впервые была рассмотрена И. Фраунгофером в 1821-1822гг. Рассмотрим параллельный пучок монохроматического света, которое падает

 

 

нормально на непрозрачный экран, в каком прорезана узкая щель шириной b. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля щель является источником вторичных волн. Разобьём открытый участок волновой поверхности на ряд зон Френеля. Они представляют собой узкие полосы, параллельные краям щели (зоны Шустера). Разность хода для крайних лучей (1,2) равна:

 

Если считать, что b содержит целое число зон Френеля (Шустра), то

     Если на щели укладывается чётное число зон 2m, то имеет место минимум

Т.к. sin φ<1 то               или 

Если b<λ, тогда min вообще нет и интенсивность света монотонно спадает к краям. Таким образом, возможно видеть только  минимумов и (m – 1) - максимумов

 

При b>>λ на экране наблюдается четкая центральная полоса, а число max высших порядков приближаются к краям центр. max и становятся практически незаметны - через большие отверстия свет распространяется прямолинейно.

Ширина центрального максимума:

 

P

экран

Δ

φ

φ

f

b

x

линза

 

 

dA=Cdx. .  

 

      

Так как  , то

 

Можно воспользоваться комплексной записью колебаний

       .

       

В результате найдём интенсивность света на экране

      

m_max=b/λ

bsin =mλ-min

m=1- геометрическая оптика

m 1-дифракция Френеля

 

Можно воспользоваться методом векторных диаграмм. Если точка А находится под серединой щели, то освещенность в ней зависит от того, сколько зон Френеля укладывается на половине щели.

Если, как на рис.121, на каждой половине укладывается по одной зоне, то длина светового вектора Е, соединяющего на спирали Корню точки В ₁ ' и В ₁, максимальна. Максимальна и освещенность. Если на каждой половине щели укладывается по две зоны, то длина вектора Е, соединяющего точки В ₂ ' и В ₂ минимальна, в точке А относительно темно.

В целом можно сделать вывод: если на половине щели укладывается нечетное число зон, то на экране в центре щели свет. Если на половине щели укладывается четное число зон, то на экране в центре щели относительная темнота.

По мере увеличения ширины щели колебания интенсивности на экране под ее центром все менее заметны, а I ® I _¥.

Если точку А смещать к какому-либо краю щели, то в каждом конкретном случае величина светового вектора найдется по спирали Корню (рис.122).

 

 

 

5.9.8. Дифракционные решетки.

Дифракционные решетки представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей. Если непрозрачные штрихи нанесены на полированную металлическую поверхность, то получаем отражательные дифракционные решетки. 

b- ширина щели

a- ширина промежутка между щелями 

с - постоянная (период) решётки

с = a + b

 n- число штрихов на 1мм

 N- общее число штрихов

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

 

=m

csin =mλ-max =p

csin = λ-min p≠N,2N,3N

=k =3

bsin =kƛ-min

 

Необходимо учитывать не только дифракцию света на каждой щели, но и интерференцию пучков, которые приходят в данную точку экрана от различных щелей. Каждая из щелей посылает свет по всем направлениям, кроме тех, что удовлетворяют условию

, при m = 1,2,3,... 

Разность хода лучей, которые идут от соседних щелей под углом φ

но при           k = 0,1,2,... 

Разность фаз будет 0; 2π; 4π;...,то есть имеет место:

-  max
, где k- порядок главных max

число max

Условие min определяется количеством щелей. Между главным максимум расположены дополнительные min.

 - условие дополнительных min

где: P - любые целые значение, кроме Р =N; 2N; 3N;...

Между соседними главными max N - 1 дополнительных mn.

При фиксированных c и λ с увеличением N координаты главного max не изменяются, уменьшается их ширина и увеличивается интенсивность. При большом N max становится узким и ярким, а дополнительные min сливаются и дают общий темный фон. Уменьшение c приводит к увеличению расстояния между главными max.

Если на решетку падает белый свет, тогда при k=0, φ=0 max всех волн совпадают и на экране будет белая полоса. Боковые max представляют собой разноцветную полосу конечной ширины - дифракционный спектр.

Дифракционные решетки раскладывают сложный свет в спектр и используются в спектральных аппаратах - спектроскопах и спектрографах.

При большом количестве щелей отдельные добавочные минимумы практически не различаются, а все пространство между главными максимумами выглядит темным. Чем больше число щелей дифракционной решетки, тем более резки главные максимумы. Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. N (постоянная дифракционной решетки одинакова) I ₀– интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели

5.9.8.1 Спектральные характеристики решетки.

1. Угловая дисперсия. D_угл

Характеризуют угловой разброс лучей, которые приходятся на единичный интервал длин волн

Так как обычно используют небольшие углы дифракции, то сosφ≈1. Угловая дисперсия D тем выше, чем больше порядок k спектра и чем меньше постоянная с дифракционной решетки.

Если k=1 и сosφ≈1

2. Линейная дисперсия.

Характеризует линейный разброс лучей, которые приходятся на единичный интервал длин волн  

 

3. Разрешающая способность решетки.

Характеризуется способность решётки разделять спектральные линии из λ и λ+dλ

Возможность различать близкие спектральные линии зависит не только от ширины спектра, или угловой дисперсии, но и от ширины спектральных линий, которые могут накладываться друг на друга.

По предложению Рэлея, подтверждённому и проверенному опытом, принято считать разрешение полным, когда максимум интенсивности одной из линий совпадает с минимумом другой (рис.2). Если максимумы располагаются ближе, чем показанные на рис.2, изображения линий λ₁ и λ₂ сливаются в одно – линии не разрешаются. Когда максимумы разнесены дальше, линии уверенно разрешены.

 

  

 

5.10 Дисперсия света.

Дисперсия света - зависимость показателя преломления n вещества от длины волны λ. Различают аномальную дисперсию и нормальную дисперсию. Явление дисперсии используют для разложения сложного излучения на монохроматические составляющие. Цвета, полученные разложением света в спектр, называются, спектральными, или чистыми остальные - смешанными. Пары цветов, которые при смешивании дают белый свет, называются, дополнительными (красный и сине-зеленый, оранжевый и синий). Смешивая все цвета спектра получаем белый. Если из полного спектра исключить один из цветов, тогда комбинация, которая осталась, дает не белый, а дополнительный цвет: красный-сине-зеленый, оранжевый-синий, желтый-фиолетовый, зеленый-пурпурный, синий - оранжевый, индиго-желтый, фиолетовый - желто-зеленый.

 

Электронная теория дисперсии света

 Дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины световой волны. Для каждого данного вещества показатель преломления n является определенной функцией от длины волны λ: n=f(λ). Дисперсией вещества называется величина, определяющая как быстро изменяется показатель преломления n с длиной волны λ. Дисперсию вещества обозначим η. l h d dn

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где e — диэлектрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ m»1, поэтому

 (186.1)

Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной определенной постоянной . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. Во всех предыдущих опытах определялась не фазовая скорость, а групповая, так как белый свет является не монохроматическим.

Если все составляющие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью, то относительное расположение волн остается все время неизменным. Следовательно, центр группы также перемещается с этой фазовой скоростью v.

Иначе обстоит дело, если наблюдается дисперсия волн. В этом случае центр группы волн перемещается с групповой скоростью

Из этой формулы видно, что в зависимости от знака , групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости. При отсутствии дисперсии  и групповая скорость совпадает с фазовой. Максимум интенсивности волны приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

В области нормальной дисперсии . Поглощение энергии волны в такой среде невелико.

В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл. Поэтому, вычисленное значение u не будет характеризовать скорости передачи энергии. Поглощение в такой среде очень велико.

В вакууме дисперсии нет и фазовая скорость равна групповой, которая в свою очередь равна скорости света c. Дисперсия возникает только в веществе. Следовательно, дисперсия, как и другие свойства вещества, должна найти объяснение на основе структуры вещества.

Теорию дисперсии на основе классической электронной теории разработал выдающийся ученый Г.А. Лоренц Он показал, что для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул электронов, связанных квазиупругими силами. Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебания на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими.

В основу теории дисперсии входит электромагнитная теория света и электронная теория вещества. Взаимодействие света с веществом в классической и квантовой трактовке, фактически, рассматривается с учетом одних и тех же основных существенных положений. Классическая теория дисперсии была разработана после создания Г. Лоренцем в конце 19 – начале 20 века электронной теории строения вещества. Теория была принята в то время с известной долей скептицизма. Тем не менее, она представляет собой вершину развития классической теории электромагнетизма и направляла все исследования по электронной теории. В основу ее положено следующее соображение. Дисперсия является следствием зависимости поляризованности атомов от частоты электрического поля. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны. Для качественного понимания ряда оптических явлений можно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул внешних электронов, связанных квазиупруго. Если такой электрон вывести из положения равновесия, сообщив ему энергию, он приходит в колебание, затем теряет энергию на излучение. В результате, колебания будут затухающими. Под влиянием внешнего поля электрон сместится на расстояние x из положения равновесия (рис.5), тем самым превращая атом в диполь с дипольным электрическим моментом p=ex. Смещением ядра из положения равновесия пренебрегаем, поскольку масса ядра больше массы электрона. Для простоты каждый атом считается диполем с одним внешним оптическим электроном. Если в единице объема среды находится n атомов, то дипольный электрический момент P=nex

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равна

Где æ— диэлектрическая восприимчивость среды, ε₀ — электрическая постоянная, Р — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

 (186.2)

т.е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (n>>10¹⁵ Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны — оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n₀, то мгновенное значение поляризованности

(186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

 (186.4) где E₀- амплитуда напряженности электрического поля волны

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Под воздействием этой силы электрон начинает совершать вынужденные колебания. Поле световой волны будем считать функцией частоты ω, т. е. изменяющимся по гармоническому закону . При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием силы

В первом приближении можно считать, что на электрон действуют три силы (рис.6).

1. Вынуждающая сила. Каждый электрон находиться под воздействием лоренцовой силы  где Е₀ - амплитуда и ω – частота электрической волны.

2. Возвращающая сила. Возвращающая сила имеет характер упругой силы связи , где к- коэффициент упругой связи.

3. Тормозящая сила. Растрата колебательной энергии, в основном, связана с взаимодействием атомов между собой. Сила трения зависит от скорости υ движения электрона , где r – коэффициент сопротивления.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона массы m в поле суммарной силы имеет вид

 

или

 (186.5)

где F₀ = еЕ₀ — амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, — собственная частота колебаний электрона, m — масса электрона.

Этот электрон возбуждает вторичную волну, которая, складываясь с первичной волной, образует результирующую волну. Эта волна распространяется в веществе с фазовой скоростью, отличной от скорости в вакууме. Различие между этими скоростями будет тем больше, чем сильнее вынужденные колебания электронов, т.е. чем ближе частота волны к резонансной частоте электронов. Отсюда вытекает существование дисперсии Решив уравнение (186.5), найдем ε = n² в зависимости от констант атома (е, m, ω₀) и частоты ω внешнего поля, т.е. решим задачу дисперсии.

Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

(186.6)

амплитуда и фаза которых равна

Уравнение колебаний запишется в виде

Чтобы упростить вычисления положим, что β=0. Тогда  ,

(186.7)

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

(186.8) - это уравнение дисперсии Зельмейера (1871г). Квантовомеханический расчет приводит к результатам такого же вида с некоторыми уточнениями.

Если в веществе имеются различные заряды е_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами ω_0i, то

 (186.9)

где m_i — масса i-го заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления n зависит от частоты ω внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно  подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от ω =0 до ω = ω₀ n² больше единицы и возрастает с увеличением ω (нормальная дисперсия); при ω = ω₀  n² = ±∞; в области от ω = ω₀ до ω= ∞. n² меньше единицы и возрастает от –∞ до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n² к n, получим, что график зависимости n от ω имеет вид, изображенный на рис. 270. Такое поведение n вблизи ω₀ — результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции n(ω) вблизи ω₀ задастся штриховой линией АВ. Область АВ — область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании ω), остальные участки зависимости n от ω описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием ω). Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависимость n от ω, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.