Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть имеются Mx, My, Mz, Mx, My, Mz, являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz.

Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения x_M, y_M, z_M

. Изобразим это на координатных  прямых.

Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (x_M, y_M, z_M), которые имеют название координаты точки M, гдеx_M, y_M, z_M - это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (x_M, y_M, z_M) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

 

Примеры решения заданий по данной теме:

1. Координатные оси прямоугольной системы координат переносятся без изменения направления осей в точку O ₁(3, -1) и поворачиваются на угол 30^°. Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A (3, 4).

Решение.

 Сначала перенесем параллельно координатные оси, не изменяя их направления, в точку (3, -1). По формулам

(1)

получаем x ₁ = 0; y ₁ = 5. Повернем теперь оси координат x ₁ O ₁ y ₁ на ; координаты точки в системе координат x ₂ O ₁ y ₂ найдутся по формулам (1), в которых надо заменить x ₁ на x ₂, y ₁ на y ₂, x на x ₁, а y на y ₁.

Получаем

Подставляя в эти формулы

будем иметь искомые координаты точки

2. Чему будут равны координаты точки , если повернуть оси координат на угол без изменения начала координат?

3. Координатные оси прямоугольной системы координат переносятся без изменения направления осей в точку O₁(3, -1) и поворачиваются на угол 30^°. Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A(3, 4).

4. Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x² - y² = a², если оси координат повернуть на угол φ = - 45^°?

5. Преобразовать дробно-линейную функцию y = (2x + 3)/(3x + 4) так, чтобы в преобразованном виде она не содержала членов первого измерения, и начертить эскиз кривой.

Решить самостоятельно:

1. Решение.

Воспользуемся формулами

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Возьмем x ₁ = -2; x ₂ = -4; y ₁ = 4; y ₂ = 10. Тогда абсцисса середины отрезка AB

а ордината середины отрезка AB

Итак, середина отрезка AB - точка C (-3, 7).

1. Найти координаты точки C - середины отрезка, соединяющего точки A (-2, 4) и B (-4, 10).

Решение.

Пусть P, N и K - точки касания вписанной окружности со сторонами Δ ABC (см. рисунок).

По условию, KB = n, CK = m, где n > m. Пусть AB = x, тогда AN = AB - NB = x - n. По теореме Пифагора .

Итак, искомая величина .

 

2. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него окружности делит один из катетов на отрезки длиной m и n (m < n).

 

3. Найти координаты конца B отрезка, если другой конец отрезка - точка A (-5, -7), а середина отрезка - C (-9, -12).

Решение.

В формулах

(1)

координаты середины отрезка обозначены через x и y. По условию задачи x = -9;

y = - 12. Координаты одного конца отрезка точки A в этих формулах x ₁ = - 5; y ₁ = - 7. Координаты точки B (другого конца отрезка) - величины неизвестные, которые мы обозначим через x ₂ и y ₂. Тогда по формулам (1) для определения этих неизвестных получаем два уравнения:

Отсюда

-18 = -5 + x ₂ и x ₂ = -13,

-24 = -7 + y ₂ и y ₂ = -17.

Ответ: x ₂ = - 13, y ₂ = - 17.

 

 

4. Даны координаты середин сторон треугольника: E (7, 8); F (-4, 5); K (1, -4). Определить координаты вершин треугольника.

5. Доказать, что сумма квадратов медиан любого треугольника составляет 75% от суммы квадратов его сторон.

Решение.

Длина медианы треугольника выражается формулой , где a, b и c - длины сторон треугольника, тогда . Таким образом, имеем . Что и требовалось доказать.

 

 

6. Точки A (2, 4), B (-3, 7) и C (-6, 6) - три вершины параллелограмма, причем A и C - противоположные вершины. Найти четвертую вершину.

7. Отрезок AB, соединяющий точки A (2, 5) и B (4, 9), разделить в отношении 1:3.

8. Концы отрезка AB имеют координаты A (-4, 8), B (6, -2). Найти координаты точек C и D, делящих отрезок AB на три равные части.

9. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?

10. Треугольник разбит медианами на шесть частей, не имеющих попарно общих внутренних точек. Сравнить площади этих частей.

Решение.

Пусть M - точка пересечения медиан AM ₁, BM ₂, CM ₃ треугольника ABC (см. рисунок).

В Δ AMC MM ₂ - медиана; поэтому

S _{Δ AMM 2} = S _{Δ CMM 2}. (1)

Аналогично получаем, что

S _{Δ AMM 3} = S _{Δ BMM 3}, (2)

S _{Δ BMM 1} = S _{Δ CMM 1}. (3)

Далее имеем S _{Δ ABM 2} = S _{Δ BCM 2} (BM ₂ - медиана); откуда в силу (1) получаем, что S _{Δ ABM} = S _{Δ BCM} . Используя равенства (2) и (3), из последнего равенства имеем S _{Δ BMM 3} = S _{Δ BMM 1}.

Аналогично получим, что S _{Δ СMM 1} = S _{Δ СMM 2} и S _{Δ AMM 2} = S _{Δ AMM 3}.

Следовательно, части равновелики.

     11. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму   треугольника, вершинам которого соответствуют координаты: A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂), C (x ₃, y ₃) (толщину пластинки не учитывать).

12. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A (2, -3), B (1, 1), C (-6, 5).

13. Доказать, что три точки A (1, 8), B (-2, -7), C (-4, -17) лежат на одной прямой.

14. В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого угла, если гипотенуза треугольника равна c, а один из острых углов равен α.

15. Тангенс тупого внешнего угла прямоугольного треугольника равен k. Найти тангенс острого угла треугольника, не смежного с данным внешним углом.

16. Доказать, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах.

17. В окружность радиуса R вписан правильный n -угольник, площадь которого равна 3 R ². Найти n.