Примеры решения задач на вычисление скорости и ускорения

Башмаков, стр.169-180 (повторить); стр.181-185 (выучить)

Практическое занятие №11

Тема: Производная, механический смысл производной.

Цель: Ознакомление с понятием производной; формирование умения применять полученные знания к решению задач.

Методические указания.

Производная функции — это предел отношения приращения функции к соответствующему приращению независимой переменной (аргумента) ,  когда стремится к нулю

 .

Физический (или механический) смысл производной: у^/— это скорость изменения функции  относительно ее аргумента х. Производная у' характеризирует быстроту изменения функции, т.е. скорость роста. Отрицательная скорость роста означает падение-уменьшение у при увеличении х, т. е. скорость убывания функции. Производная у' указывает на тенденции, характерные для изменения у, и позволяет судить о том, что можно ожидать при дальнейшем изменении аргумента.

Линейная скорость – это первая производная от перемещения.

Угловая скорость , где - угловое перемещение (угол поворота).

Ускорение - это первая производная от скорости по времени или вторая от перемещения по времени

 

Примеры решения задач на вычисление скорости и ускорения

Пример 1.Точка движется по закону . Найти:

1) среднюю скорость движения за промежуток времени от t =2 до t+h =6;

2) мгновенную скорость движения;

3) скорость движения в момент времени t =7;

4) ускорение движения;

5) ускорение движения в момент времени t =7.

Решение

1) Средняя скорость движения за промежуток времени от t до t+h находится по формуле

           (1)

По условию , t = 2, t+h = 6, откуда h = 6 - 2 = 4,

По формуле (1) получим

2) Мгновенная скорость движения в момент времени t есть производная от пути по времени. Получим:

3) Так как то

4) Ускорение движения в момент времени t есть производная от скорости по времени, поэтому

5) Так как то

Ответ: 2)  3)  4)  5)

Пример 2.Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону s(t) = t³+3t+1,

S – в сантиметрах, t – в секундах. Найти:

1) действующую на тело силу F;

2) кинетическую энергию E тела через 2с после начала движения.

Решение

1) v(t) = S´(t) = 3t² +3, а(t) = v´(t) = 6t, а(2) = 12

F = ma,

F = 2кг ∙ 12  = 24  = 0,24  = 0,24H.

2) E = , v(2) = 15.

E =  = 225000 .

Ответ: F = 0,24H; E = 225000(эрг).

Содержание работы

№1. Точка движется прямолинейно по закону

а) Найти:

среднюю скорость движения за промежуток времени от t =2 до t+ Δt =2,5;

мгновенную скорость движения;

скорость движения в момент времени t =3;

ускорение движения;

ускорение движения в момент времени t =3.

 

№2. Точка движется прямолинейно по закону

 Найти:

а) среднюю скорость движения за промежуток времени от t =1 до t+ Δt =1,5;

б) мгновенную скорость движения;

в) скорость движения в момент времени t = 1;

г) ускорение движения;

д) ускорение движения в момент времени t = 1.

№3. Угол α (в радианах), на который повернется колесо за t секунд, равен

α =3t² – 12t +36. Найдите угловую скорость колеса в момент t=4 с и момент, когда колесо остановится.

 

Контрольные вопросы

1. По какой формуле можно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени от t₀ до t₀ + Δt?

2. Как связаны между собой средняя и мгновенная скорости движения?

3. В чём заключается механический смысл первой производной?

4. Функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), что есть S'(t)?

5. В чём заключается механический смысл второй производной?