Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е

1·2·3·(n -2)·(n -1)· n =   n! (читают эн факториал)

Например: 1!=1          2!=1·2=2             6!=1·2·3·4·5·6=720

Следовательно, число перестановок n предметов равно n!

№1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что  . Значит существует 40 320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.

Ответ: 40320

Ознакомиться (устно):

Это интересно. Историческая справка

С задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составление магических квадратов, в которых числа располагали так, что сумма по всем вертикалям и главным диагоналям была одной и той же, позднее в Римской империи. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей квадрата и т.д.

Комбинаторными задачами интересовались математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.) Например: Обойти всё поле шахматной доски конём. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных

Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П.Ферма.

Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716), опубликовавший в 1666г. работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторика».

Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Бурное развитие экономических приложений математики привело к возникновению и изучению обширного класса комбинаторных задач - задач на оптимизацию.