Усеченная призма может быть получена из не усеченной призмы с помощью неперпендикулярного сечения. ( Рис.2 ).
Для полной характеристики призмы и умения ориентироваться в ее строении, рассмотрим:
Основные свойства призмы (см. Рис.1, Рис.2)
1. Основания призмы:
- это равные многоугольники, если призма не является усеченной;
- это не равные многоугольники, если призма является усеченной.
2. Боковые грани призмы:
- это параллелограммы, если призма не является усеченной;
- это трапеции, если призма является усеченной.
3. Боковые ребра призмы:
- параллельны и равны между собой, если призма не является усеченной;
- параллельны, но не равны между собой, если призма является усеченной.
4. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах
5. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
6. Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
|
|
7. В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.
Вопрос 2. Характеристика некоторых видов призм
1. Наклонная треугольная призма АВСА1В1С1
Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
АВС и А1В1С1 – основания призмы.
АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы.
Объемная геометрическая фигура АВСА1В1С1 – это треугольная призма, если:
1) Треугольники АВС и А1В1С1 равны.
2) Треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║ А1B1C (α ║ β).
3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 – параллельны.
Если из произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
В нашем случае боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.
Если опустить из вершины А1 перпендикуляр А1Н на АВС, то этот перпендикуляр так же как и НН1 будет высотой призмы.
Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА1 на плоскость АВС.
Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС – это уголмежду прямой АА1 и её АН проекцией на плоскость, то есть это угол А1АН.
В данном случае высоты (перпендикуляры) НН1 и А1Н не параллельны боковым ребрам призмы АА1, ВВ1, СС1, а значит, боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
Из определения знаем, что если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – призма называется наклонной.
Вывод: На рисунке представлена и нами рассмотрена наклонная треугольная призма.
2. Прямая треугольная призма АВСА1В1С1
|
|
Из определения знаем, что призма, боковые ребра которой перпендикулярны к основаниям, называется прямой призмой.
Представленная на рисунке призма – прямая, так как ее боковые ребра, (как указано на схеме) перпендикулярны основаниям.
- Боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 – перпендикулярны плоскостям АВС и А1В1С1.
- Каждое из боковых ребер призмы: АА1, ВВ1, СС1, – являются высотой этой призмы.
Заметим, что все боковые грани:
АА1В1В, В1ВС1С, АА1С1С, – перпендикулярны к основаниям АВС и А1В1С1, так как основания проходят через перпендикуляры АА1, ВВ1, СС1 к верхнему и нижнему основаниям призмы.
3. Прямая четырехугольная призма
Охарактеризуем четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1:
1) Основаниями призмы являются четырехугольники ABCD и A1B1C1D1.
2) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A1B1C1D1, что запишем аналитически: ABCD = A1B1C1D1.
3) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β, отсюда следует, что ABC ║ А1B1C (α ║ β).
4) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА1║ВВ1║СС1║DD1.
5) Так как основания призмы параллельны, боковые ребра также параллельны, отсюда следует, что все боковые ребра равны друг другу: АА1=ВВ1=СС1=DD1.
6) Линия АС1 является диагональю данной призмы, так как в соответствии с определением, является отрезком, соединяющим две вершины призмы А и С1, не принадлежащие одной грани.
Если боковые ребра призмыперпендикулярны плоскостям оснований, значит, представленная призма является прямой.
4. Параллелепипед – является частным случаем четырехугольной призмы
Параллелепипед – это призма, основанием которой является параллелограмм.
● Рассмотрим прямоугольный параллелепипед – это прямая призма, основанием которой является прямоугольник и все грани являются прямоугольниками.
Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, три измерения – это длины трёх рёбер DA, DC, DD1, имеющих общую вершину – D.
Свойства прямоугольного параллелепипеда: