Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b ₁ , b ₂ , … b_n, …,

знаменатель которой равен q.

Для суммы первых n членов геометрической прогрессии

S_n = b ₁ + b ₂ + … + b_n , n = 1, 2, 3, …

Справедлива формула

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b ₁ + b ₂ + … + b_n + …,

То будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству

| q | < 1,

Поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

Итак,