Выполните письменно самостоятельную работу

Этап.

Задача: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos² x = 4 sin x

Так как cos² x = 1 – sin² x, то

4 – (1 – sin² x) = 4 sin x,

3 + sin² x = 4 sin x,

sin² x - 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y² - 4 y +3 = 0

у₁=1; у₂=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения:

1 вариант
1) tg² x - 3 tg x + 2 = 0;
2) 2 cos² x + 5 sin x – 4 = 0;
3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3;

Этап.

Задача: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin³ x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos² x - sin² x.

(2sin³ x - sin x) – (cos² x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos² x = 1 - sin x.

sin x (2sin² x – 1) – (1 - 2 sin² x) = 0,

sin x (2sin² x – 1) + (2 sin² x - 1) = 0,

(2 sin² x - 1) • (sin x + 1) = 0.

2 sin² x – 1 = 0	или	sin x + 1 = 0
sin² x = 1/2,		sin x = - 1
sin x = ±1/v2

Ответ: x₁ = ± /4 + n, n = Z, x₂ = - /2 +2 k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения:

1 вариант
1) sin² x - sin x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,

Этап.

Задача: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin² x + cos² x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos² x (или на sin² x).

Пример 2. 12 sin² x + 3 sin 2x - 2 cos² x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin² x + 2cos² x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin² x + 6sin x cos x - 4 cos² x = 0.