Необходимое условие экстремума

Если функция f (x) в точке  имеет экстремум, то производная f¢ (x ₀) обращается в нуль или не существует.

Точка , в которой f¢ (x ₀) = 0, называется стационарной точкой.

Точки, в которых  или  не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

 2.8.3 Достаточное условие экстремума

Правило 1. Если x ₀ — критическая точка функции f (x) и при произвольном достаточно малом h > 0 f¢ (x ₀ – h) > 0, f¢ (x ₀ + h) < 0, то функция f (x) в точке x ₀ имеет максимум, если f¢ (x ₀ – h) < 0, f¢ (x ₀ + h) > 0, то функция f (x) в точке x ₀ имеет минимум. Если же в точке x ₀ производная f¢ (x) не меняет своего знака, то функция f (x) в точке x ₀ экстремума не имеет.

Правило 2. Если f¢ (x ₀) = 0, но f² (x ₀) ¹ 0, то функция f (x) в точке x ₀ имеет экстремум, а именно максимум, если f² (x ₀) < 0, и минимум, если
f² (x ₀) > 0.

Правило 3. Пусть f¢ (x ₀) = 0, f² (x ₀) = 0, …, f ^{( n –1)}(x ₀) = 0, f ^{( n )}(x ₀) ¹ 0. В этом случае функция f (x) имеет в точке x ₀ экстремум, если n — четное число, а именно, максимум при f ^{( n )}(x ₀) < 0 и минимум при f ^{( n )}(x ₀) > 0. Если n — нечетное число, то функция f (x) в точке x ₀ экстремума не имеет.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f (x) на отрезке [ a, b ] нужно выбрать наибольшее и наименьшее значение функции из значений функции в критических точках и на границах отрезка.