Примеры преобразований чертежа

Расстояние от точки А до прямой ВС общего положения (рис. 60). Для решения этой задачи следует добиться того, чтобы прямая ВС стала перпендикулярна новой плоскости проекций.

Расстояние между параллельными  прямыми (a úú b) общего положения (рис. 61). Для решения следует добиться, чтобы обе прямые стали перпендикулярными новой плоскости проекций.

 

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми (рис. 62). Для решения следует добиться, чтобы одна из заданных прямых (например, линия а) стала перпендикулярна новой плоскости проекций. Это достигается двойным преобразованием чертежа (см. ниже алгоритм решения).

Натуральная величина двугранного угла (рис. 63). Двугранным называется угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: a (АВС) Ç b (АВD). Ребром AB такого угла называется линия пересечения этих плоскостей. Мерой величины двугранного угла является плоский угол CKD, образованный в нормальном сечении двугранного угла (в сечении перпендикулярно его ребру AB). Для решения задачи следует добиться, чтобы ребро АВ двугранного угла расположилось  перпендикулярно новой плоскости проекций. Это достигается двойным преобразо

ванием чертежа.

Расстояние от точки А до плоскости a (BCD). Для решения этой задачи следует добиться, чтобы плоскость a стала перпендикулярна новой плоскости проекций П₄ (х₁₄ ^ h₁). Тогда отрезок АК перпендикуляра, проведённого из точки А до пересечения в точке К с плоскостью a, определяющий искомое расстояние, будет располагаться параллельно новой плоскости проекций П₄, т. е отображаться на эту плоскость в натуральную величину.

 

1. Многогранные поверхности

Многогранником называется геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон плоскостями, называемыми гранями.

Совокупность граней многогранника образует многогранную поверхность. Ребром такой поверхности называется прямая – линия пересечения двух смежных граней. Пересечение трех и более смежных граней образует вершину многогранной поверхности.

В курсе НГ рассматриваются следующие позиционные задачи с применением многогранных поверхностей:

- точка, лежащая на многогранной поверхности;

- линия, лежащая на многогранной поверхности;

- сечение многогранной поверхности плоскостью;

- пересечение многогранной поверхности с пространственной линией (частный случай такой задачи – пересечение многогранной поверхности с прямой линией);

- взаимное пересечение двух многогранных поверхностей;

- пересечение многогранной поверхности с кривой поверхностью.

Точка, лежащая на многогранной поверхности. Задача сводится к построению недостающей проекции точки, лежащей на многогранной поверхности. При этом возможны два варианта: точка лежит на ребре такой поверхности или точка лежит на её грани. Оба варианта рассмотрены ранее, как точка, принадлежащая прямой линии и точка, принадлежащая плоскости.

Пример (рис. 66). Построить недостающие проекции точек 1(1₂), 2(2₁), 3(3₂), 4(4₁).

Построение. Недостающие проекции точек 1 и 2, расположенных на рёбрах многогранной поверхности, построены по линиям связи проекций этих точек. Недостающие проекции точек 3 и 4, расположенных на гранях многогранной поверхности построены с применением вспомогательных линий, расположенных на этих гранях и проходящих через заданные точки. Например, линия N3 (N₂3₂) проведена через заданную точку 3(3₂) параллельно ребру АС. Указанную вспомогательную прямую можно назвать горизонталью грани SAC. Линия SK (S₁K₁) проведена через заданную точку 4(4₁) и вершину S(S₁).

Сечение многогранной поверхности плоскостью. В сечении многогранника плоскостью образуется выпуклый многоугольник, число вершин которого равно числу пересекаемых рёбер. Рассмотрим два варианта расположения секущей плоскости: 1) сечение многогранной поверхности проецирующей плоскостью; 2) сечение этой поверхности плоскостью общего положения.

1.Сечение многогранной поверхности проецирующей плоскостью (рис. 67). Фронтальная вырожденная проекция a₂  секущей плоскости a обладает собирательным свойством, по которому определяем фронтальные проекции точек пересечения плоскости a с ребрами многогранника: 1₂ = a₂  Ç S₂В₂; 2₂ = a₂  Ç S₂С₂; 3₂ = a₂  Ç А₂С₂; 4₂ = a₂  Ç А₂В₂;

По линиям связи строим горизонтальные проекции этих точек. Для построения горизонтальной проекции 2₁ точки 2 использована вспомогательная прямая 2-К, расположенная на грани SАC и параллельная ребру АС.

2.Сечение многогранной поверхности плоскостью общего положения (рис. 68). Поставленную задачу удобно решать с применением замены плоскости проекций: х₁₂ (П₂ / П₁)Þ х₁₄ (П₁ / П₄): х₁₄ ^ h₁ Þ a₄. Для построения вырожденной проекции a₄. плоскости a используем две точки (М и Р). Вершины АВС пирамиды имеют нулевую координату z, следовательно их проекции на плоскость П₄ расположатся на координатной оси х₁₄.

После преобразования эпюра на плоскости проекций П₄ легко определяем вершины многоугольника сечения и по линиям связи строим их горизонтальные проекции. Для построения фронтальных проекций 1₂ и 2₂ точек 1 и 2 рекомендуется использовать обратную замену 1₄ на 1₂ (по координате z) и 2₄ на 2₂. Координату z указанных точек измеряем на плоскости П₄ и откладываем

 на любой вертикальной прямой плоскости П₂. Проводим линии, параллельные координатной оси 0х до пересечения их с соответствующим ребром (см. на рис. 68 линии со стрелками).

В процессе решения задачи необходимо оценивать видимость построенных элементов чертежа.

Пересечение многогранной поверхности S с прямой линией l. Для решения поставленной задачи используется следующий алгоритм (рис. 69):

1. 
   Через прямую l  проводим вспомогательную плоскость a (обычно проецирующую).
2. Строим фигуру сечения многогранника этой плоскостью: 1-2-3-… = S Ç a.
3. 
   Находим точки пересечения прямой l с фигурой сечения: МК = l Ç 1-2-3-…. Это и будут искомые точки.
4. Оцениваем видимость найденных точек.

Иногда для решения задачи используют вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через заданную прямую и вершину пирамиды (рис. 70)

В  этом случае фигура сечения многогранной поверхности плоскостью будет треугольником. Построения производятся в следующей последовательности:

1. Через произвольную точку L, расположенную на прямой l, и вершину S многогранника проводим прямую k.

2. Находим точки G и F пересечения прямых l и k с плоскостью ABCD основания пирамиды.

3.Определяем точки Q и T пересечения прямой FG с линиями основания ABCD и соединяем эти точки с вершиной S.

4. Находим точки K и N пересечения прямой l с D SQT и оцениваем видимость этих точек.

Аналогично может быть решена задача по пересечению призмы с прямой l (рис. 71). Здесь использована вспомогательная плоскость общего положения, проходящая через прямую l параллельно боковым рёбрам призмы. В этом случае рассечение призмы плоскостью произойдёт по параллелограмму.

Кривые поверхности