I. Начальный II. Вращение III. Конечный

Тема. Понятие поверхности вращения.

Определение цилиндра и конуса.

Элементы, свойства и сечения

Цилиндра и конуса

Вопросы темы:

Понятие поверхности вращения.

Определение цилиндра, его элементы, свойства и сечения.

Определение конуса, его элементы, свойства и сечения.

Домашнее задание

Вопрос 1. Понятие поверхности вращения

Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве (объемная геометрическая фигура), которое возникает путем вращения какой-либо плоской геометрической фигуры вокруг какой-нибудь оси.

 

Рассмотрим пример, когда ось вращения расположена в произвольном месте в пространстве относительно исходной плоской фигуры, которую будем вращать.

Это пример создания объемной геометрической фигуры известной в математике как ТОР, а в обыденной жизни – Бублик!

Для создания этого тела необходимо взять для вращения такую плоскую геометрическую фигуру как круг и вращать этот круг вокруг оси, которая находится в стороне от плоскости данного круга.

Процесс вращение можно разделить на три стадии (Рис.1):

I. Начальная  II. Вращение              III. Конечная

Рис.1                                   Получили – Бублик. А по-научному – ТОР

По такому принципу можно любую плоскую фигуру вращать вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

 

Ну, а поверхность вращения– это просто граница тела вращения. Поверхность – это всегда граница тела.

 

 

Далее в теме рассмотрим подробно несколько тел вращения.

Это цилиндр и конус.

 

Вопрос 2. Определение цилиндра,

Его элементы, свойства и сечения

Рассмотрим пример создания из плоской геометрической фигуры – объемной геометрической фигуры (тела в пространстве), которая известна нам как цилиндр.

 

Берем плоскую геометрическую фигуру – прямоугольник и начинаем вращать этот прямоугольник вокруг одной из его сторон.

 

Это вращение разобьем на три этапа (Рис.2):

I. Начальный II. Вращение    III. Конечный

Рис.2

Начальный этап – это прямоугольник, расположенный по длине необходимой нам стороны.

При смене стороны прямоугольника для его вращения на сторону с меньшей длиной получим цилиндр меньшей высоты.

Второй этап – Вращение – это вращение прямоугольника, в данном примере, вокруг оси, которая совпадает с его более длинной стороной.

 

Конечный этап – это конечный результат – это формирование тела вращения – цилиндра, то есть объемного геометрического тела, которое сформировано в результате вращения.

 

Цилиндр – тело, образованное путем вращения прямоугольника вокруг одной из сторон этого прямоугольника.

 

Вообще-то полное имя этого тела «прямой круговой цилиндр», но принято называть эту объемную геометрическую фигуру просто цилиндром.

Основные элементы прямого кругового цилиндра (Рис.3)

 

Рис.3

 

● Основание цилиндра (нижнее или верхнее) – это всегда круг.

Линии окружности кругов верхнего и нижнего оснований создаются на стадии вращения двумя вершинами прямоугольника, которые не лежат на оси вращения.

Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях и равны друг другу.

 

● Радиус цилиндра – это радиус основания цилиндра.

Радиус цилиндра формируется той стороной исходного вращаемого прямоугольника, которая не лежит на оси вращения.

Величина радиуса основания цилиндра – это длина стороны прямоугольника, не лежащей на оси вращения.

 

● Ось цилиндра – это отрезок оси, вокруг которой вращался исходный прямоугольник, длина этой оси равна длине стороны прямоугольника, вокруг которой происходило вращение.

Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры оснований цилиндра.

 

● Высота цилиндра(Н) – совпадает с осью цилиндра. Высота цилиндра всегда равна длине стороны прямоугольника, вокруг которой происходило вращение.

Высота цилиндра перпендикулярна плоскостям его оснований, так как фигурой вращения был – прямоугольник.

Высота цилиндра – это расстояние между плоскостями оснований цилиндра.

 

●Образующая цилиндра (l) – это сторона вращаемого прямоугольника, противоположная стороне, лежащей на оси вращения.

Образующая цилиндра всегда параллельна оси цилиндра, так как это две противоположные стороны исходного вращаемого прямоугольника.

Образующие – это линии, параллельные и равные друг другу.

Образующих (линий) при вращении прямоугольника возникает бесконечное множество.

● Это бесконечное множество линий, расположенных бесконечно близко друг к другу, создают, так называемую, цилиндрическую поверхность цилиндра.

● Боковая поверхность цилиндра – это и есть цилиндрическая поверхность, состоящая из совокупности образующих.

Боковую поверхность цилиндра можно представить с помощью Рис.4:

 

Если в сформированном цилиндре убрать оба основания (верхний и нижний круги), то тело вращения будет представлено только, так называемой, боковой цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра разрезать вдоль любой из образующих и развернуть имеющуюся поверхность, то получим прямоугольник, который называем разверткой боковой поверхности цилиндра.

Рис.4

Развертка боковой поверхности цилиндра имеет форму прямоугольника (Рис.5).

 

Размеры данного прямоугольника:

Длина развертки боковой поверхности цилиндра – это длина окружности основания цилиндра – 2πR.

Высота развертки боковой поверхности цилиндра – это высота самого цилиндра (H) = длине оси цилиндра = длине образующей цилиндра l.

Рис.5. Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник.

 

● Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и поверхностей двух оснований (верхнего и нижнего).

Развертка полной поверхности цилиндра (Рис.6):

Рис.6