2020-06-12
91
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.
Система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействиям, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является расположение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.
|
|
|
В конце XIX и первой половине XX в. задача вычисления корней характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложены несколько косвенных методов оценки устойчивости, позволяющих обойтись без вычисления корней - по значениям коэффициентов характеристического уравнения.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. В частности, к алгебраическим критериям относится критерий Гурвица, к частотным критериям – критерий Найквиста, Михайлова.
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы.
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:
(7.1)
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу по правилу:
1. По диагонали записываются коэффициенты от a 1 до a n.
2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.
3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или больше n, на его место пишется 0.
Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:
Критерий устойчивости формулируется так: чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при а n > 0 были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица.
Первые три миноры определителя имеют вид:
|
|
|
;
;
.
Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но он не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W (j ω).
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной характеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части, тогда W (j ω) приобретает вид:
Задаваясь различными значениями частоты можно найти множество пар:
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:
1. Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке Р(ω)= k (где k – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при
ω->∞ (рис. 7.1, а).
2. Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой полуоси, а заканчивается в начале координат при ω->∞ (рис. 7.1, б).
Рис. 7.1.АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:
1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами (-1, j 0).
2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от -∞ до +∞ охватывала m раз точку с координатами
(-1, j 0).
При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:
1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью.
2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 < ω < +∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива, если фаза выходного сигнала противоположна фазе входного сигнала, а коэффициент усиления больше 1.
Частотный критерий устойчивости Михайлова позволяет определить устойчивость по виду траектории годографа характеристического уравнения. Сделаем замену s = j ω:
При изменении частоты ω характеристический вектор будет вращаться на комплексной плоскости, причем его аргумент будет также изменяться за счет каждого корня характеристического уравнения. Конец характеристического вектора будет вычерчивать на комплексной плоскости некоторую траекторию называемую годографом Михайлова.
Рассматривая годограф, получаемый при указанном повороте вектора Михайлова, найдем, что при изменении частоты от 0 до ∞ годограф устойчивой системы должен окружать начало координат, пересекая n квадрантов.
На рис. 7.2 показан вид годографов для систем различного порядка.
Рис. 7.2. Годографы Михайлова для систем различного порядка.
Как видно из рис. 7.2 координаты U и V годографа по очереди меняют знак, проходя через 0. Отсюда третья формулировка критерия Михайлова: система устойчива, если при изменении частоты от 0 до бесконечности координаты годографа поочередно проходят через нуль, в общем n раз. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, то изменение аргумента вектора Михайлова при изменении частоты от 0 до бесконечности на 
меньше требуемого для устойчивости системы. При этом an = 0 и годограф начинается в начале координат. При наличии пары чисто мнимых корней годограф проходит через начало координат. В этих случаях, поскольку имеются корни, лежащие на мнимой оси, система находится на границе устойчивости, если только все остальные корни лежат в левой полуплоскости.
|
|
|
Определение устойчивости по критерию Найквиста удобно проводить, используя логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики разомкнутой системы, как показано на рис. 7.3. Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо, чтобы ЛАЧХ пересекала ось абсцисс (точка а) раньше чем ФЧХ пересекает ось -1800 (точка б)
Рис. 7.3. Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики разомкнутой системы.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования выступают линейные динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной системы автоматического управления задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по заданной передаточной функции разомкнутой системы. Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе.
Необходимо:
1. Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по данным приведенным в табл. 7.1 для разомкнутой системы.
2. Определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Гурвица.
3. Определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Найквиста.
4. Определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Михайлова.
5. Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе, используя ЛАЧХ и ЛФЧХ.
6. Выполнить моделирование переходных процессов разомкнутой и замкнутой систем.
|
|
|
7. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
Таблица 7.1 – Варианты заданий
| № варианта | Вид передаточной функции | Коэффициенты полиномов | |||||||
|
1 |
| b 0 | a 0 | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 | ||
| 2 | 1 | 5 | 5 | 3 | 1 | ||||
| 2 | 3 | 2 | 6 | 1 | 1 | 4 | |||
| 3 | 1 | 0,05 | 0,1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 4 | 10 | 5 | 0,3 | 2 | 2 | 1 | |||
| 5 | 1 | 5 | 2 | 3 | 2 | 2 | |||
|
6 |
| b 0 | a 0 | a 1 | a 3 | a 4 | |||
| 0,2 | 1 | 5 | 1 | 3 | |||||
| 7 | 0,3 | 2 | 4 | 2 | 1 | ||||
| 8 | 1 | 0,5 | 0,1 | 1 | 1 | ||||
| 9 | 3 | 5 | 0,3 | 1 | 2 | ||||
| 10 | 0,1 | 5 | 2 | 2 | 2 | ||||
|
11 | 
| b 0 | b 2 | a 0 | a 1 | a 3 | a 4 | ||
|
| 0,8 | 0 | 1 | 7 | 7 | 3 | |||
| 12 | 0,3 | 5 | 6 | 1 | 2 | 8 | |||
| 13 | 0,2 | 7 | 9 | 2 | 5 | 0 | |||
| 14 | 0,4 | -6 | 3 | 6 | 0 | 1 | |||
| 15 | 0,1 | 2 | 9 | 0 | 3 | 5 | |||
|
16 |
| b 0 | a 0 | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 | ||
| 0,5 | 1 | 9 | 7 | 3 | 4 | ||||
| 17 | 0,6 | 2 | 2 | 8 | 5 | 0 | |||
| 18 | 0,8 | 3 | 3 | 4 | 0 | 2 | |||
| 19 | 0,1 | 2 | 4 | 0 | 9 | 6 | |||
| 20 | 0,7 | 1 | 0 | 5 | 4 | 4 | |||
