Краткие теоретические сведения

Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т.е. расположением нулей и полюсов передаточной функции.

Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное для регулируемой величины при наличии задающего воздействия:

где

Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмущающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях.

Передаточная функция разомкнутой системы:

(10.1)

Полюсы передаточной функции, т. е. корни знаменателя, обозначим через а ее нули (корни числителя) — через :

(10.2)

где K – коэффициент усиления разомкнутой системы; C – коэффициент представления.

Передаточная функция разомкнутой системы, как правило, задается в виде отношения произведений передаточных функций стандартных (типовых) звеньев, при описании которых используются выражения трех видов:

T p,	(10.3)
T p + 1,	(10.4)
T ²p ² + 2T z p + 1.	(10.5)

Здесь Т - постоянная времени [с].

Если выражения (10.3)‒ (10.5) стоят в знаменателе передаточных функций звеньев (в числителе 1), то звенья называются соответственно интегрирующим, апериодическим, колебательным. Для колебательного звена z - безразмерный коэффициент затухания (0< z <1). Если выражения (10.3)‒(10.5) стоят в числителе передаточных функций звеньев (10.1), то звенья называются соответственно дифференцирующим, форсирующим первого порядка, форсирующим второго порядка.

Для перехода от стандартной формы записи к формуле (10.1) необходимо вычислить полюса и нули соответствующих типовых звеньев.

Для передаточных функций, использующих выражение (10.3):

p^*(0)=0,

(10.6)

использующих выражение (10.4):

p^*(0)= ‑ 1/T,

(10.7)

использующих выражение (10.5):

(10.8)

Коэффициент представления C вычисляется с помощью выражения:

(10.9)

Для звеньев, использующих выражение (10.5), соответствующая постоянная времени входит в выражение (10.9) в квадрате.

При замыкании системы с передаточной функцией W _pаз(p) единичной обратной связью передаточная функция замкнутой системы W _зам(p) принимает вид:

(10.10)

где знак "+" соответствует отрицательной обратной связи; знак "-" соответствует положительной обратной связи.

Из формулы (10.10) следует, что нули передаточной функции замкнутой системы равны нулям передаточной функции разомкнутой системы.

Для определения полюсов замкнутой системы необходимо решить уравнение:

(10.11)

Так как W _pаз(p) является функцией комплексного переменного p, то уравнение (10.11) распадается на два уравнения: уравнение модулей и

(10.12)

уравнение аргументов

(10.13)

для отрицательной обратной связи и

(10.14)

для положительной обратной связи.

Уравнения (10.13-10.14) имеют наглядный геометрический смысл. Если точка p является полюсом замкнутой системы, то проведя в точку p вектора из всех нулей W _pаз(p) (обозначим аргументы этих векторов q ⁰ _j) и вектора из всех полюсов W _pаз(p) (обозначим аргументы этих векторов q^*_i), уравнение (10.13) можно записать в следующем виде:

(10.15)

а уравнение (10.14) в виде:

(10.16)

Углы q отсчитываются от положительного направления действительной оси. Знак угла "+" соответствует повороту против часовой стрелки, знак угла "-" соответствует повороту по часовой стрелке.

Геометрическое место точек на комплексной плоскости " p ", удовлетворяющее выражениям (10.15) и (10.16) называетсякорневым годографом.

Как следует из формул (10.15) и (10.16), конфигурация корневого годографа не зависит от коэффициента усиления K, но каждому конкретному значению K однозначно соответствуют точки на корневом годографе.

Для определения этого соответствия достаточно воспользоваться уравнением (10.12) в следующей интерпретации:

где - модуль (длина) вектора, проведенного из j -нуля в точку p КГ; - модуль вектора, проведенного из i полюса в ту же точку p.

Для систем небольшого порядка m, n <5…7 построение КГ можно осуществлять “вручную” (с помощью транспортира и линейки).

Приведем свойства корневых годографов (случай отрицательной обратной связи):

1. Ветви корневого годографа непрерывны и расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси.

2. Число ветвей КГ равно порядку системы n. Ветви начинаются в n полюсах разомкнутой системы при K =0. При возрастании K от 0 до бесконечности полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ.

3. Отрезки действительной оси, по которым перемещаются действительные полюса замкнутой системы являются действительными ветвями корневого годографа. Эти ветви находятся в тех частях действительной оси, справа от которых расположено нечетное общее число действительных полюсов и нулей разомкнутой системы.

4. m ветвей КГ при возрастании K от 0 до бесконечности заканчиваются в m нулях W _pаз(p), a (n - m) ветвей при K, стремящемся к бесконечности, удаляются от полюсов вдоль асимптот.

5. Асимптоты в виде звезды из (n - m) полупрямых выходят из точки с координатой

на действительной оси под углами:

к действительной оси.

6. Угол выхода q^*_i ветви КГ из полюса p^*_i определяется из уравнения (6.50а), примененного к данному полюсу. Аналогично определяется угол входа ветви КГ в нуль p⁰_j.

7. При расположении ветвей корневого годографа в левой полуплоскости p САУ устойчива. При пересечении ветвей КГ мнимой оси слева направо САУ становится неустойчивой. Пусть при K = K_кр пересечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iw_кр. Назовем это значение коэффициента усиления критическим K_кр, а величину w_кр критической угловой частотой, на которой система становится неустойчивой.

Метод КГ позволяет выбрать коэффициент усиления САУ, подобрать расположение полюсов и нулей передаточной функции корректирующих звеньев, определить параметры доминирующих полюсов САУ (ближайших к началу координат плоскости p).

В качестве примеров, приведем КГ для двух систем автоматического управления.

На рис. 10.1, а приведен корневой годограф САУ, передаточная функция разомкнутой системы, которой равна: