Решение систем нелинейных уравнений

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При моделировании задача нахождения решения системы алгебраических или трансцендентных уравнений является распространенной вычислительной задачей. Например, к решению таких систем сводятся расчеты фазового и химического равновесия многокомпонентных смесей, расчеты статических режимов многих технологических процессов и др.

Решение систем нелинейных уравнений.

Запишем нелинейную систему уравнений n-ого порядка (систему n нелинейных уравнений с n неизвестными (СНУ)) в общем виде:

                                                                        (5.1)

Эту систему можно записать в компактной, операторной форме:

F(X) = 0                                                                                     (5.2)

где

вектор неизвестных

вектор-функция

Решением системы называется набор значений ,  (вектор X^*), при которых все функции f_i равны 0 (система (5.1) обращается в тождество.)

СНУ могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение СНУ проводят в два этапа:

1 этап – отделение решений.

2 этап – уточнение всех или только нужных решений.

 

              5.1.1. Отделение решений системы.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f₁(x₁, x₂) = 0

f₂(x₁, x₂) = 0

Для этого необходимо в координатах (x₁, x₂) построить кривые

f₁(x₁,х₂) = 0,     f₂(x₁,х₂) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы. Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

 

 

Рис. 5.1. Графическое отделение решений СНУ.

 

Для систем с большим числом неизвестных (n ³ 3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Отделение решений позволяет:

1. Выявить число решений и область существования каждого из них.

2. Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

3. Выбрать начальное приближение решения X⁽⁰⁾ из области его существования, так что X⁽⁰⁾ÎD.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения X⁽⁰⁾ проводиться методом проб и ошибок (методом “тыка”).

Пример. Отделить решения системы

x² + y²=1

ln(x)+2y=-1

Запишем систему в стандартном виде (5.1).

Область определения функций

Очевидно, что решения могут быть только в общей области определения этих функций.

Решения существуют, т.к. D₀ ≠ Æ.

Для отделения решения нужно построить графики функций в общей области определения (Рис.5.2.).

График первой функции – окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Для построения графика второй функции нужно вычислить значение  в нескольких точках общей области определения D₀:

- при x ₁ = +0 (очень маленькое положительное число) х ₂ = + ¥.

- при x ₁ = (1/е) ≈ 0,33 .

- при  x ₁ = 1

- при x ₁ = 0,5

 

 

Имеются два решения.

Область существования первого решения ,

второго решения

.

Точность отделения решений зависит от точности построения графиков.

 

    Рис. 5.2.