Три попарно перпендикулярные прямые, на которых выбрано направление и единичные отрезки, называются прямоугольной системой координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.
Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z- аппликата.
При решении задач в координатах применяют правила:
1. Если вектор имеет координаты , то его можно разложить по координатным векторам
где - координатные (базисные) векторы.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Пусть даны векторы и
2. Если , то
3.
4.
5.
Скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение векторов в координатах:
6. Признаки ортогональности и коллинеарности векторов.
1) , если = 0 {векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат) равно нулю}.
2) , векторы параллельны(коллинеарные) если координаты векторов пропорциональны
Пусть даны векторы и , если .
Вычисление координат середины отрезка
и - середина отрезка
Вычисление длины вектора по его координатам
Расстояние между двумя точками
Угол между векторами и
Угол между прямыми, где и - направляющие векторы прямых
Примеры решения задач:
№1
Дано:
Решение
1) Находим координаты вектора ;
2) Затем находим координаты вектора
3) Теперь находим аналогично координаты вектора
4) Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:
Ответ:
№ 2
Дано:
; 2) .
Решение
1.
1) Находим координаты вектора ;
2) Затем находим разность векторов
;
3) Теперь находим длину вектора :
2.
1) Находим координаты вектора
;
2) Находим координаты вектора
;
3) Затем находим сумму векторов
;
4) Теперь находим длину вектора :
Ответ: