Неравномерное движение

За­да­ние №1. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты ма­те­ри­аль­ной точки, движущей­ся вдоль оси OX, от вре­ме­ни за­да­на урав­не­ни­ем x(t)=8+2t-4t². Найдите зависимость про­ек­ции ско­ро­сти этой ма­те­ри­аль­ной точки на ось OХ от време­ни.

Ре­ше­ние. Про­ек­ция ско­ро­сти тела-это про­из­вод­ная ко­ор­ди­на­ты тела по вре­ме­ни: .

Ответ: .

 

 

 

 

Задание № 7. Тело брошено вертикально вверх. Через 0,5с после броска его скорость была . Какова начальная скорость тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Поскольку сопро­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, на бро­шен­ное тело дей­ству­ет толь­ко сила тя­же­сти, ко­то­рая со­об­ща­ет ему посто­ян­ное уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния, на­прав­лен­ное вниз. Следователь­но, ско­рость ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну . Отсюда нахо­дим на­чаль­ную ско­рость тела .  

 

За­да­ние № 9. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист од­но­вре­мен­но на­чи­на­ют дви­же­ние по пря­мой из со­сто­я­ния покоя. Уско­ре­ние мо­то­цик­ли­ста в три раза боль­ше, чем ве­ло­си­пе­ди­ста. Во сколь­ко раз ско­рость мо­то­цик­ли­ста боль­ше ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­ста в один и тот же мо­мент вре­ме­ни?

Ре­ше­ние. За­ко­н из­ме­не­ния ско­ро­сти со вре­ме­нем при равноускоренном движении имеет общий вид: . По­сколь­ку и вело­си­пе­дист, и мо­то­цик­лист на­чи­на­ют дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя, законы из­ме­не­ния их ско­ро­стей со вре­ме­нем можно записать как: , . Таким об­ра­зом, в любой мо­мент вре­ме­ни ско­рость мо­то­цик­ли­ста в 3 раза боль­ше ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­ста.

Ответ: .

За­да­ние № 10. Не­боль­шое тело дви­жет­ся вдоль оси ОХ. Его координа­та х из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни t по за­ко­ну x(t)=2+t+t², где t вы­ра­же­но в се­кун­дах, а x- в мет­рах. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния этого тела на ось О_Х в мо­мент вре­ме­ни t=1 c?

Ре­ше­ние. Решить данную задачу, можно применяя два способа.

1 спо­соб:

Ускорение можно найти, сравнив формулу зависимости координаты тела x от времени при равноускоренном движении в общем виде   с зависимостью x(t)=2+t-t². При­рав­ни­вая ко­эф­фи­ци­ен­ты при t², на­хо­дим, что ве­ли­чи­на по­сто­ян­но­го уско­ре­ния a_x =- 2м/с².

   

   

 

За­да­ние №14. То­чеч­ное тело на­чи­на­ет дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя и дви­жет­ся рав­но­уско­рен­но вдоль оси ОХ по глад­кой горизонтальной поверхно­сти. Исполь­зуя табли­цу, определи­те зна­че­ние про­ек­ции на ось ОХ уско­ре­ния этого тела.

Ре­ше­ние. При равноускоренном дви­же­нии с ну­ле­вой на­чаль­ной скоростью, за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела от вре­ме­ни да­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: , где x₀- на­аль­ная координата. Из пер­вой стро­ки таб­ли­цы ясно, что начальная коор­ди­на­та равна 2м. Исполь­зуя любую дру­гую стро­ку, например тре­тью, для ве­ли­чи­ны проекции уско­ре­ния имеем: .

 

Графические задачи

За­да­ние №1. Может ли гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни иметь следующий вид?

Ре­ше­ние. Путь-это фи­зи­че­ская величина, пока­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рассто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина пройденного участ­ка траек­то­рии. По определению, путь есть ве­ли­чи­на положительная, ко­то­рая может толь­ко возрастать со вре­ме­нем, так что представлен­ный гра­фик не может изображать за­ви­си­мость пути от вре­ме­ни.

Ответ: не может.

За­да­ние №2. На каком из гра­фи­ков изоб­ра­же­на воз­мож­ная зависимость прой­ден­но­го пути от вре­ме­ни?

Ре­ше­ние. Путь это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая пройденное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участка тра­ек­то­рии. По опре­де­ле­нию, путь есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, ко­то­рая может толь­ко воз­рас­тать со вре­ме­нем. Этому тре­бо­ва­нию удовлетво­ря­ет толь­ко гра­фик В.

Ответ: график В.

За­да­ние № 3. Мяч, бро­шен­ный вер­ти­каль­но вверх, па­да­ет на землю. Най­ди­те гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни про­ек­ции ско­ро­сти на вертикальную ось, на­прав­лен­ную вверх.

Ре­ше­ние. Мяч после брос­ка дви­жет­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем свобод­но­го па­де­ния, на­прав­лен­ным вниз. Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция скорости долж­на умень­шать­ся со вре­ме­нем по ли­ней­но­му за­ко­ну, . При этом, модуль скорости должен сначала уменьшаться, а затем возрастать. Этим требованиям удовлетворяет гра­фик №2.

Ответ: график №2.

За­да­ние № 4. Мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без на­чаль­ной скорости. Най­ди­те гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни. Сопротивлени­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку мяч бро­шен с вер­ши­ны скалы без на­чаль­ной ско­ро­сти, а со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, за­ви­си­мость моду­ля пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни долж­на иметь сле­ду­ю­щий вид:

.

Ис­ко­мая за­ви­си­мость пред­став­ле­на на ри­сун­ке 4. Кроме того, мо­дуль есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, этому кри­те­рию также удо­вле­тво­ря­ет толь­ко график под но­ме­ром 4.

Ответ: график № 4.

За­да­ние №5. Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по пря­мой улице. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ско­ро­сти автомобиля от вре­ме­ни. В каком ин­тер­ва­ле време­ни максимален мо­дуль уско­ре­ния?

Ре­ше­ние. Ускорение определяется по формуле . На всех рас­смат­ри­ва­е­мых ин­тер­ва­лах вре­ме­ни ско­рость ав­то­мо­би­ля меняется рав­но­мер­но, сле­до­ва­тель­но, ускорение на каж­дом ин­тер­ва­ле по­сто­ян­но. Все исследуемые ин­тер­ва­лы оди­на­ко­вы по дли­тель­но­сти, по­это­му максимальному мо­ду­лю уско­ре­ния соответствует мак­си­маль­ный мо­дуль изме­не­ния ско­ро­сти в те­че­ние интева­ла. Из гра­фи­ка видно, что это интервал от 10с до 20с. Доказать это можно, если подставить числовые значения скорости для данного интервала

Ответ: интервал от 10с до 20с.

За­да­ние №6. Ко­ор­ди­на­та тела, дви­жу­ще­го­ся вдоль оси ОХ, изменяет­ся по за­ко­ну x(t) =10−5t, где все ве­ли­чи­ны вы­ра­же­ны в СИ. Какой из при­ве­ден­ных ниже гра­фи­ков сов­па­да­ет с гра­фи­ком зависимо­сти про­ек­ции ско­ро­сти этого тела от вре­ме­ни?

Ре­ше­ние. Ско­рость-это про­из­вод­ная от ко­ор­ди­на­ты тела по времени, сле­до­ва­тель­но, .  

Ответ: Гра­фик такой за­ви­си­мо­сти изоб­ражён на ри­сун­ке №3.

За­да­ние № 7. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции скоро­сти тела от вре­ме­ни.

На каком из гра­фи­ков пред­став­ле­на про­ек­ция уско­ре­ния тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0с до 6с?

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что уско­ре­ние в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 0с до 10с по­сто­ян­но. Зна­чит, на этом ин­тер­ва­ле в­ре­ме­ни уско­ре­ние такое же, как и на ин­тер­ва­ле от 0с до 6с. Найдём это уско­ре­ние по формуле: . Подставляем значения.

Про­ек­ция уско­ре­ния тела в этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пред­став­ле­на на графике 1.

Ответ: на графике №1.

За­да­ние № 8. То­чеч­ное тело дви­жет­ся вдоль оси OХ. За­ви­си­мость координаты x этого тела от вре­ме­ни t имеет вид: x (t)=(5− t)². На каком из при­ведённых ниже ри­сун­ков пра­виль­но изоб­ра­же­на за­ви­си­мость про­ек­ции  ско­ро­сти этого тела на ось OX от вре­ме­ни?

Ре­ше­ние. Ско­рость-это про­из­вод­ная от ко­ор­ди­на­ты по вре­ме­ни . Тогда . Так как начальная скорость равна –10м/с, то гра­фик такой за­ви­си­мо­сти изоб­ражён на рисунке 4.

Ответ: график №4.

За­да­ние № 9. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции скорости тела от вре­ме­ни.

С каким графиком совпадает гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ускорения этого тела a_x  в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 5с до 10с?

Ре­ше­ние. Ускорение тела определяется по формуле .  

Ответ: Гра­фик такой за­ви­си­мо­сти изоб­ражён на ри­сун­ке 3.

За­да­ние №11. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни.

Опре­де­ли­те по гра­фи­ку ско­рость дви­же­ния ве­ло­си­пе­ди­ста в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 1с до мо­мен­та вре­ме­ни 3с после на­ча­ла дви­же­ния.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 1с до мо­мен­та вре­ме­ни 3с после на­ча­ла дви­же­ния путь ве­ло­си­пе­ди­ста не изменял­ся. Сле­до­ва­тель­но, на этом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни ве­ло­си­пе­дист не двигал­ся, его ско­рость была равна нулю.

 

За­да­ние № 12. Тело дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но вдоль оси ОХ. На графи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела от вре­ме­ни. В какой мо­мент време­ни мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки имел максималь­ное зна­че­ние?

Решение. Из гра­фи­ка видно, что на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та тела равна x₀=10м. Мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния тела от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки в любой мо­мент опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: s=x(t)-x₀. Подставляя поочерёдно координаты в разный момент времени, получается, что мо­дуль перемещения от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки мак­си­ма­лен при t = 6c.

 

Ответ: t = 6c.