Сравнение долей и дробей

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12 отрезок AВ равен отрезку CD; отрезок EF больше отрезка QH; отрезок KL меньше отрезка MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице измерения). Возьмём отрезок СК и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1/2. Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2/4; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать дробь 4/8. Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1/2, 2/4 и 4/8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными числителями: 1/4 и 1/8, и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части, а во втором случае о н а же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1/4 больше 1/8. Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными знаменателями: 5/8 и 3/8. Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с разными числителями и знаменателями, то судить об их величине можно путём сравнения каждой из них с единицей. Например,2/3 меньше 4/5, потому что первая дробь отличается от единицы на 1/3, а вторая на 1/5, т. е. у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.