Если члены ряда - непрерывные на отрезке [ a,b ] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [ a,b ].
Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [ a,b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [ a,b ] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
|
|
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера: .
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x 1, то он сходится и притом абсолютно для всех .
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример. Найти область сходимости ряда
Находим радиус сходимости .
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х 1, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .