2020-07-12
97
Авторегрессионная модель – модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда.
Синдром – это результат проверки четности, выполняемой над r, чтобы определить, принадлежит ли r набору кодовых слов.
Полином локатора ошибок 
– величина, указывающая на расположение ошибки.
Расположений ошибочной комбинации e(Х) – ее местоположение.
Корни полиномиального генератора g(X) должны быть и корнями кодового слова, генерируемого g(X), поскольку правильное кодовое слово имеет следующий вид: 
Условие задачи:
а) Воспользуйтесь авторегрессионной моделью из уравнения (8.40) вместе с искаженным кодовым словом из задачи 8.6 для нахождения месторасположения каждой символьной ошибки.
б) Найдите значение каждой символьной ошибки.
в) Воспользуйтесь сведениями, полученными в пп. а и б, чтобы исправить искаженное кодовое слово.
Дано:
Авторегрессионная модель:
|
|
|
,
где 
– синдромы,
– коэффициенты полинома локатора ошибок .
Искаженное кодовое слово:
,
где 
– корни полинома 
.
Найти:
а) месторасположения каждой символьной ошибки ?
б) значение каждой символьной ошибки 
, 
-?
в) используя сведения, полученные в пунктах а и б, нужно исправить искаженное кодовое слово 
.
Решение:
Используем авторегрессионную модель уравнения (8.40), взяв матрицу наибольшей размерности с ненулевым определителем. Для кода (7, 3) с коррекцией двухсимвольных ошибок матрица будет иметь размерность 
, и модель запишется следующим образом:
а)
1) Для нахождения месторасположения каждой символьной ошибки будем оперировать термином полинома локатора ошибок, и использовать основную формулу приведенную ниже:
(3),
где - полином локатора ошибок;
- номера расположения ошибок,
– базисные элементы;
– коэффициенты полинома локатора ошибок ;
индексы 1, 2, …, ν обозначают 1-ю, 2-ю, …, ν-ю ошибки.
2) Для определения номера расположения ошибки воспользуемся формулами приведенными ниже:
(4) и 
(5),
где 
– номер расположения 1-ой ошибки,
– номер расположения 2-ой ошибки.
3) Чтобы найти коэффициенты 
и 
полинома локатора ошибок 
, сначала необходимо вычислить обратную матрицу для уравнения (2). Обратная матрица для матрицы 
определяется следующим образом:
где 
– обратная матрица для матрицы ;
- матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы;
- определитель матрицы .
4) Для определения обратной матрицы находим матрицу алгебраических дополнений и определитель матрицы следующим способом:
|
|
|
5) Подставляя найденные выше выражения, определяющие значение и в формулу (6), находим обратную матрицу для матрицы .
6) С помощью уравнения (2) начинаем поиск положений ошибок, вычисляя коэффициенты полинома локатора ошибок 
, следующим образом:
7) Находим полином локатора ошибки , подставляя найденные выше коэффициенты в формулу (3):
8) Определим корни полинома путем полной его проверки со всеми элементами поля, как будет показано ниже. Любой элемент X, который дает 
,является корнем, что позволяет нам определить расположение ошибки.
указывает месторасположение ошибки при 
указывает месторасположение ошибки при 
б)
1) Определяем значения ошибки и , связанных с позициями 
и 
. Для определения может быть использован любой из четырех синдромных уравнений. Мы используем 
и 
:
где и – синдромы уравнений;
– номер расположения 1-ой ошибки,
– номер расположения 2-ой ошибки;
– полином поврежденного кодового слова.
2) В матричной форме формулы (6) и (7) принимают следующий вид:
2) Прежде чем найти значения ошибок и , нужно выполнить поиск обратной матрицы для уравнения (9) по формуле (6):
3) Подставляя обратную матрицу, найденную выше в подпункте 2, в формулу (9) определяем значения ошибок:
4) Для нахождения полинома ошибок 
воспользуемся формулой приведенной ниже:
где индекс j обозначает расположение ошибки.
5) Подставляя значения ошибок и в формулу (10), определяем полином ошибок :
6) Согласно рисунку 8.7 (см. приложение к задаче 8.7) находим значение 
и 
, подставляя их в формулу (11), получаем следующее выражение:
в)
1) Для исправления искаженного кодового слова к полученному полиному прибавим полином ошибки следующим образом:
где – полином переданного кодового слова;
– полином поврежденного кодового слова;
– полином ошибочной комбинации.
2) Используя формулу (12), получаем следующее выражение:
+
Ответ:
а) указывает месторасположение ошибки при 
;
указывает месторасположение ошибки при .
б) Представляя ошибку как полином, ее значение принимает следующий вид: 
.
в) Исправленное искаженное кодовое слово мы представили в виде полинома: .
