Касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся окружности

 

Касающимися окружностями называются такие две окружности, которые имеют лишь одну общую точку. Точка касания окружностей и их центры лежат на одной прямой.

Линией центров называется прямая, проходящая через центры двух окружностей.

 

Окружности радиусов r и R с центрами  и касаются внешним образом тогда и только тогда, когда .

Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами  и  касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда .

Примеры.

1. Найдите отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов r и R, касающихся внешним образом.

2. Три окружности касаются внешним образом. Расстояние между центрами окружностей равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите радиусы окружностей.

3. Три окружности, радиусы которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания этих окружностей.

4. В полукруг радиуса R вписаны две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга. Найдите их радиус.

 

Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R − r.

Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

 

Примеры.

1. Две пересекающиеся окружности имеют общую касательную. Расстояние между точками касания равно 4. Расстояние между центрами окружностей равно 5, а радиус меньшей окружности равен 2. Найдите величину радиуса большей окружности.

2. Две окружности радиуса 32 с центрами   и  , пересекаясь, делят отрезок   на три равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих данных окружностей и касается отрезка .

3. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного вадрата, а для другой – стороной правильного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен 5.

4. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиус окружностей.

 

Две окружности радиусов r и R (r < R) не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами больше, чем r + R, или меньше, чем R − r.

 

Примеры.

1.Найдите длины общих касательных к окружностям, радиусы которых равны R и r, а расстояние между их центрами равно    ().

2. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная, касающаяся их в точках  и  и пересекающая стороны угла в точках  и . Докажите, что .

 

 

Литература:

1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) // Москва, Брянск, 2013., 195 с.

2. Интернет-ресурс http://www.alexlarin.net/

3. Интернет-ресурс https://math-ege.sdamgia.ru/

4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М., Просвещение, 1989., 385 с.