Производная показательной функции
а) .
Прологарифмируем обе части равенства по основанию , получим Дифференцируя обе части по переменной и учитывая, что – сложная функция, получим или , откуда ,т.е. и .
Заметим, что кривая , называемая экспонентой, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке х ордината кривой равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: .
б) . и по правилу дифференцирования сложной функции .
Итак, и .
в) ; . .
г) Производная степенной функции
Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции длялюбого . Действительно, . Дифференцируя обе части равенства, получим ,откуда , и .
Таблица производных
№ п/п | Функция y | Производная | № п/п | Функция у | Производная |
1 | 14 | ||||
2 | 15 | ||||
3 | 16 | ||||
4 | 17 | ||||
5 | 18 | ||||
6 | 19 | ||||
7 | 20 | ||||
8 | 21 | ||||
9 | 22 | ||||
10 | 23 | ||||
11 | 24 | ||||
12 | 25 | ||||
13 |
Логарифмическая производная.
Производная неявной и параметрической функции
|
|
Логарифмическая производная
Производная степенно-показательной функции
. Найдем .Дифференцируя, получим
.
Учитывая, что , получим после преобразований
.
Замечание. Производная логарифмической функции
называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании.
Пример 1. Вычислить .
.
Пример 2. .
Логарифмируем:
П роизводная неявной функции.
Если задана неявная функция , то для вычисления производной надо взять производные от правой и левой частей, помня, что .
Например, .
.
Параметрическое задание функции
Пусть даны два уравнения .
Каждому значению t соответствует x и y на плоскости. Если , то эта точка описывает кривую на плоскости – кривая задана параметрически, – параметр. , то .
Такое задание определяет , от задается параметрически. Используется в механике.
Производная. Ищем производную сложной функции:
производная обратной функции.
Пример. .
Дифференциал функции
Пусть и аргумент получил приращение . Тогда дифференциалом называется величина , но , поэтому отношение дифференциалов.
Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием, при этом вычисляется производная, поэтому процесс вычисления производной часто называется дифференцированием.
Дифференциал – главная линейная часть приращения функции.
Функция, обладающая дифференциалом, называется дифференцируемой.
У дифференцируемой функции производная должна быть конечной.
Свойства дифференциала
|
|
1. ;
2. ;
3. .
Найдем выражение для дифференциала сложной функции: , где . По правилу дифференцирования сложной функции: , то есть инвариантность дифференциала – дифференциал сложной функции имеет такой же вид, как и для простой переменной.
Дифференциал широко применяется в приближенных вычислениях.
Дифференциал , если .