Формулы объема и площади поверхности тел вращения

Решение задач

 

Задача 1

Дано: Прямой круговой конус. РО₂ = 8 дм.  S_сеч. = ½ S_осн.

Найти: РО₁.

Решение:

1. Сечение и основание конуса – круги, которые являются подобными геометрическими фигурами.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

     где S_сеч.= πr₁² , S_осн.= πr₂².

3.

4. Из полученной пропорции PO₁ = r₁/r₂ ●РО₂ = 1/√2 ● 8 = 4√2.

Ответ: 4√2 дм.

Задача 2

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту конуса пополам.

Найти площадь полной поверхности отсеченного конуса (Рис. 1).

Решение

 Рис. 2. Подобные треугольники

Заметим, что по условию у отсеченного конуса высота в два раза меньше высоты исходного.

Рассмотрим осевое сечение большего конуса АSВ и увидим, что треугольники АSВ и А₁SВ₁ подобны с коэффициентом 2 (см. рис. 2).

Значит, и образующая, и радиус также в два раза меньше.

Площадь полной поверхности конуса определяется по формуле .

Если мы по условию и полученным в решении данным уменьшим радиус и образующую вдвое, то правая часть формулы расчета S_п.п. уменьшится вчетверо, значит, полная поверхность маленького конуса А₁SВ₁  будет равна 12: 4 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3

Длина окружности основания конуса равна 3, а образующая равна 2.

Найти площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Ответ: 3.

 

Задача 4

Рис.1.  – искомый угол

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше пло­щади его основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания. Ответ дайте в градусах (см. Рис.1).

Решение

1.

2. По условию, S_б.п. в 2 раза больше S_осн. Значит, .

3. Рассмотрим осевое сечение, проведем высоту (ось конуса). Получим прямоугольный треугольник, в котором катет (радиус ос­нования) вдвое меньше гипотенузы, значит, угол при радиусе равен 60 градусам (см. Рис.2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ: 60 градусов.

 

 

Задача 5

Радиус круга, лежащего в основании конуса, равен 3 дм, а угол между образующей и основанием составляет 60⁰.

Найти:

а) образующую конуса

б) высоту конуса

в) площадь боковой поверхности конуса

г) площадь полной поверхности конуса

д) угол между образующими осевого сечения конуса

е) объем конуса

 

Решение:

а) l = 2R = 6 (дм), т.к. ÐSAO = 60

б) изDASO: H² = AS² - AO² = 6² - 3² = 36 – 9 = 27

в) S_бок. = p Rl = p·3·6 = 18p(дм²)

г) S_полн. = S _бок + S_осн. = 18p + 9p = 27p (дм²)

д) Ð 60^° = ÐASB H = Ö27 = Ö9·3 = 3Ö3 (дм)

е) V = 1/3 S_осн H = 1/3·9p 3√3 = 9√3 p(дм³)

 

Таким образом, ответы даны на все а) – е) вопросы.

 

Вопрос 3. Объем Шара, площадь Сферы.

Решение задач

Как вам уже известно:

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар – это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара.

Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии, когда было открыто, что Земля – это шар, а небо – небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии – сферическая геометрия.

Для того, чтобы решать задачи на определение размера и объеме шара, вспомним его определение.

Шар

 

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространства, имеющими общее свойство.

А именно: эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра.

 

 

Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара – мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Вы уже знаете, как получить шар: путем вращения круга (полукруга) вокруг его же диаметра.

То есть диаметр круга будет осью вращения.

Образованная фигура – и есть шар. Шар называют также телом вращения, потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры – круга (полукруга).

Если возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар, подобно тому как мы режем ножом апельсин, кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

Еще в Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой как с геометрическими фигурами и использовать их, например, при строительстве, но также умели рассчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сфера

Вы уже знаете, что иначе поверхность шара называется сферой.

Сфера – это не тело – это поверхность тела вращения.

В связи с тем, что наша планета Земля и многие другие тела имеют сферическую форму, например, капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе – секущая к сфере содержит в себе ее хо рду.