Площадь поверхности конуса

1 2 3 4

Тел вращения

Вопросы к теме:

Объем и площади поверхностей Цилиндра.

Решение задач.

Объем и площади поверхностей Конуса.

Решение задач.

Объем Шара и площадь поверхности Сферы.

Решение задач.

Домашнее задание

Вопрос 1. Объем и площадь поверхности Цилиндра.

Решение задач

Как известно из темы о телах вращения,

Цилиндр – это тело вращения.

Основными элементами цилиндра являются:

- основания (нижнее и верхнее), радиус (диаметр) основания, высота, боковая поверхность, образующая (в прямом цилиндре является и высотой), развертка цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра, в соответствии со строением данного тела вращения, можно разделить на две составляющие:

1) площадь боковой поверхности;

Площадь двух оснований.

Рассмотрим формулы определения этих площадей.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Развертка цилиндра, по линии образующей (без оснований) – это прямоугольник.

где Н – одна сторона прямоугольника развертки

(высота цилиндра);

2πR – другая сторона прямоугольника развертки

(длина окружности основания цилиндра)$

R – радиус основания цилиндра.

Площадь прямоугольника-развертки – это произведение сторон прямоугольника: 2 πRH.

Площадь этого прямоугольника-развертки и есть площадь боковой поверхности цилиндра:

S_бок = 2 πRH

Обращаем внимание, что единица измерения площади всегда имеет вторую степень (квадрат)

Площадь основания цилиндра

Основание цилиндра является круг. Площадь круга определяется по формуле πr ².

Площадь двух оснований (нижнего и верхнего) цилиндра – это площадь оснований цилиндра:

S_осн. = 2 πR ², где R - радиус основания цилиндра

Суммарная площадь этих двух составляющих представляет собой площадь полной поверхности цилиндра:

S_полн.= S_бок + S_осн. = 2 πRH + 2 πR ²

Объем цилиндра

Принцип определения объема цилиндра такой как у призмы и параллелепипеда: произведение площади основания на высоту данного геометрического тела.

Площадь основания цилиндра – πR ². Высота цилиндра – Н.

Объем цилиндра определяем по формуле:

V_{цилиндра} = πR ² H

Обращаем внимание, что в формуле объема единица измерения всегда имеет третью степень (куб).

Таблица формул для заучивания.

Решение задач

Задача 1

Длина окружности основания прямого цилиндра составляет 8p см, высота цилиндра равна 6 см.

Найти:

а) радиус основания цилиндра

б) площадь основания цилиндра

в) площадь боковой поверхности цилиндра

г) площадь полной поверхности цилиндра

д) площадь осевого сечения цилиндра

е) объем цилиндра

Решение:

а) Длина окружности основания цилиндра (из условия)

C = 8 =2pR

Отсюда, радиус цилиндра R = 8/2p = 4/p (см);

диаметр цилиндра D – 2R = 8p (см).

б) S_осн. = pR²= p·16/p²= 16/p (см²)

в) Из условия высота цилиндра H = 6 (см)

S_бок.= 2pR·H= 2p·4/p·6 = 48 (см²)

г) S_полн.= S _бок+ S_осн.= (48+ 16/p) (см²)

д) Осевое сечение цилиндра – это сечение, которое образуется при пересечении тела цилиндра плоскостью, которая проходит через ось (высоту) цилиндра.

В результате осевого сечения получаем геометрическую фигуру – прямоугольник со сторонами: Н – высота цилиндра и D – цилиндра.

Площадь осевого сечения определяется как площадь прямоугольника – произведение двух смежных сторон прямоугольника, в нашем случае – произведение высоты Н на диаметр D.

S_{ос. сеч.} = D·H= 8/p·6= 48/p (см²)

е) V= pR²·H = p·16/p²·6 = 96/p (см³)

Ответ:

а) 4/p (см);

б) 16/p (см²);

в) 48 (см²);

г) (48+ 16/p) (см²);

д) 48/p (см²);

е) 96/p (см³).

Задача 2

Решение:

1. Исходя из того, что имеем прямой цилиндр, значит площадь осевого сечения представляет собой – прямоугольник со сторонами:

АС = ВD = H = 7 (см).

AD = CD = D (диаметр основания цилиндра)

2. Площадь сечения, как площадь прямоугольника, определим как произведение двух смежных сторон прямоугольника:

Например, АС ● СD = 42 (см²) (из условия).

Зная высоту цилиндра (АС), найдем СD:

CD = 42: 7 = 6 (см).

3. В тоже время, CD – это диаметр основания цилиндра, значит, радиус основания цилиндра R = 3 (см).

4. S_осн.= πR²= π9 = 9π (см).

Ответ: 9π (см).

Вопрос 2. Объем и площадь поверхности Конуса.

Решение задач

Конус – тело вращения, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов либо путем вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси (высоты).

Конус – это геометрическое тело, которое состоит из основания, представленное окружностью, из вершины, представленной точкой, не лежащей в плоскости основания и равноудаленной от всех точек на окружности, из образующих, представляющих собой прямые линии, соединяющие вершину со всеми точками, лежащими на окружности.

Конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Большинство свойств пирамиды подходят и для конуса.

Основными элементами конуса являются: основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Рассматривая вопрос о конусе, мы говорим о прямом круговом конусе, но называем его просто конус.

На Рис.1 представлен прямой круговой конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса совпадает с центром окружности основания.

На Рис.2 представлен наклонный конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса не совпадает с центром окружности основания или выходит за границы плоскости основания.

Рис.2

Рис.1

Площадь поверхности конуса

Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.

Чтобы найти длину образующей l, следует воспользоваться формулой:

где h – это высота конуса; R – это радиус основания.

Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса.

Полная поверхность конуса состоит из боковой поверхности, имеющей форму сектора радиусом l (длина образующей) и поверхности основания, имеющего форму круга.

Рис.3. Полная поверхность конуса

где ά - градусная мера дуги АА₁;

длина дуги АА₁ – это длина окружности основания и равна 2πr;

l – образующая, r – радиус основания.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:

Докажем это.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки боковой поверхности конуса, то есть площадь кругового сектора равна:

где ά - градусная мера дуги АА₁;

l – образующая, r – радиус основания.

Можно выразить ά через l и r.

Длина дуги развертки равна длине дуги конуса окружности. , откуда .

Подставив в первоначальную формулу, получим:

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса представляет собой сумму площадей боковой поверхности и площади основания, определяется следующей формулой:

Объем конуса

Формула объема конуса похожа на объем цилиндра, но разделенная на «3»:

Этот коэффициент 1/3 получен в результате определенных математических расчетов.

Необходимо очень твердо запомнить, что в формулах объема «треугольных» фигур: конуса и пирамиды этот коэффициент 1/3 присутствует, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра этого коэффициента нет!

Приведем формулы расчета боковой и полной поверхности, а также объема усеченного конуса.

В нашем примере представлен усеченный конус, полученный путем перпендикулярного сечения, то есть сечения плоскостью, перпендикулярной высоте конуса.