Длина дуги, первая квадратичная форма

Вычислим длину дуги [3] L, заданной системой (1) на поверхности:

(4)

Здесь скобками  обозначено скалярное произведение векторов. Далее для простоты будем записывать , как , а  – .

В линейном пространстве квадратичная форма [6] – функция, которая вектору ставит в соответствие число. Предположим, что рассматривается . Тогда квадратичная форма – это функция Q, которую можно представить в следующем виде:

  (5)

Также квадратичную форму можно представить в матричном виде:

                       (6)

Таким образом, смысл E,F,G – получить подкоренное выражение в формуле (4), как матричное выражение:

                                                   (7)

где E, F, G – коэффициенты первой квадратичной формы, .

Таким образом, первая квадратичная форма вычисляется по формуле:

                                                         (8)

Первая квадратичная форма играет основную роль во всей теории поверхностей. Т.o, если заданы E, F, G, u (t), v (t), то длину дуги можно вычислить даже если уравнение поверхности неизвестно.