Кривые второго порядка

1 2 3 4 5 6 7

Каноническое уравнение эллипса:

. (12)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 3):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F ₁(– c; 0), F ₂(c; 0) – фокусы эллипса;

| А₁А₂ | = 2 a – длина большой оси;

а – большая полуось эллипса;

| B₁B₂ | = 2 b – длина малой оси;

b – малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c ² = a ²– b ².

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 4).

В этом случае фокусы эллипса F ₁(0; – c), F ₂(0; c), эксцентриситет и справедливо c ² = b ² – a ².

Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x ² + y ² = R ²,

где R= a= b.

В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы:

. (13)

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 5):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F₁ (– c; 0), F₂ (c; 0) – фокусы гиперболы;

| А₁А₂ | = 2 a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

| B₁B₂ | = 2 b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

Для гиперболы справедливо: с ² = a ² + b ².

Число называется эксцентриситетом гиперболы .

Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

	х ² = 2 ру. (14) Фокус F (0; ), уравнение директрисы: у = – .
Рис. 6.
	х ² = –2 ру. (15) Фокус F (0; – ), уравнение директрисы: у = .
Рис. 7.
	у ² = 2 рх. (16) Фокус F (; 0), уравнение директрисы: х = – .
Рис. 8.
	у ² = –2 рх. (17) Фокус F (– ; 0), уравнение директрисы: х = .
Рис. 9.

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O ₁(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X ₁ O ₁ Y ₁будут (х ₁; у ₁), где

(18)

Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.

Таблица 2.

В системе координат ХОY	В системе координат X ₁ O ₁ Y ₁
Окружность с центром в точке O ₁(α; β) и с радиусом R:	Каноническое уравнение окружности:
Эллипс с центром в точке O ₁(α; β):	Каноническое уравнение эллипса:
Гипербола с центром в точке O ₁(α; β):	Каноническое уравнение гиперболы: .
Параболы с вершиной в точке O ₁(α; β) или .	Канонические уравнения парабол: или