Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде (это преобразование называется подведением функции под знак дифференциала d). Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную u на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным.
Для определенного интеграла формула имеет вид
,
где , . Таким образом, при замене переменных в определенном интеграле меняются пределы интегрирования, зато не надо после интегрирования возвращаться к прежней переменной.
Метод подстановки
Пусть функция дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную . Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию .
При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного.
|
|
Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид
,
где , а .
Примеры решения задач
Далее знак будет означать ссылку на табличный интеграл с номером N.
2.2.1. Вычислить .
◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции , поэтому удобно подвести под знак дифференциала:
. ►
2.2.2. Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал , то Поэтому
.
2.2.3. Вычислить .
◄ Так как и . ►
2.2.4. Вычислить .
◄ Так как , то . ►
2.2.5. Вычислить .
◄ Так как , то . Тогда
. ►
2.2.6. Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала :
. ►
2.2.7. Вычислить .
◄ Так как , то , тогда
. ►
2.2.8. Вычислить .
◄ Так как , то
. ►
2.2.9. Вычислить .
◄ . ►
2.2.10. Вычислить .
◄ . ►
2.2.11. Вычислить .
◄
. ►
2.2.12. Вычислить .
◄ . ►
2.2.13. Вычислить .
◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.
. ►
2.2.14. Вычислить .
◄
. ►
2.2.15. Вычислить .
◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда , и
. ►
2.2.16. Вычислить .
◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогда при , при , , , и
. ►