4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства
Общий вид
, (3)
где и непрерывные на некотором отрезке функции.
Определение 2. Функции и называются линейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенство или, если , то , т.е.
В противном случае, функции и называются линейно независимыми (ЛНЗ).
Например, функции и - ЛЗ, так как , а функции и - ЛНЗ, так как
Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского
,
что следует из теорем:
Теорема 1. Если функции и линейно зависимы (ЛЗ) на , то определитель Вронского .
Так как , то
.
Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором отличен от нуля, т.е. то
Так как и решения уравнения (3), то
Первое равенство умножим на , второе на и сложим полученные результаты. С учётом, что
,
получим уравнение с разделяющимися переменными
Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию
(4)
или
.
Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если
то .
Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором.
Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на получим
Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то .
Предположим обратное, т.е. при некотором . Тогда по теореме 2 . Предположим, что (в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство
т.е. функции и линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.
4.2. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2
Теорема 4. Если функции и - два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид , где и произвольные константы.
Вначале покажем, что является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены при и :
.
Далее покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых такое решение удовлетворяло бы им.
Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значений и
. (5)
с определителем Вронского
так как и - ЛНЗ решения уравнения (3).
Из решения системы (5) определяем и . Таким образом,
является общим решением уравнения (3).