Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде
.
Продифференцируем это равенство:
В силу произвольности выбора функций и положим
(10)
Тогда
Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем
(11)
Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе
(12)
из которой единственным образом находим и , так как её опре-делитель является определителем Вронского . И тогда
Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения
Составим характеристическое уравнение
Воспользуемся формулой (4) .
Здесь .
Составим систему (12)
Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем
Окончательно получим общее решение
Ряды