Алгебраические уравнения

Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений величин) сигналы мало отклоняются от рабочей точки - некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют «правильные» значения и их производные равны нулю. Поэтому для решения задач управления часто достаточно использовать линейную модель в отклонениях от этой рабочей точки.

Пример бак с водой. В нижней части бака просверлено отверстие, через которое вытекает вода: - площадь сечения бака по всей его высоте,  - площадь сечения отверстия,  - расход вытекающей воды,  -уровень воды в баке определяется как интеграл от потока воды , деленный на :

.

СЛАЙД 7. Связь уровня воды () с расходом можно найти с помощью закона Бернулли, который в данном случае принимает вид , где  - плотность жидкости, g=9,81 м/с² - ускорение свободного падения,  - скорость вытекания жидкости. Отсюда получаем  . Учитывая, что расход воды вычисляется как , находим (1)

,                                                 (1)

где  - постоянная величина. Это статическая модель, потому что она не содержит производных, характеризующих изменение сигналов во времени. Статическая модель описывает установившееся состояние (статический режим), когда в баке поддерживается постоянный уровень воды и поток вытекающей воды тоже постоянный.

Очевидно, что модель (1) - нелинейная, поскольку содержит Линеаризовать ее - значит приближенно заменить уравнение (1) линейным уравнением , где  - некоторый коэффициент. Тогда один из вариантов - вычислить коэффициент как угол наклона отрезка в интервале от 0 до 1 м, соединяющего точки кривой  на концах этого интервала. Для определенности далее везде принимаем =1, тогда получаем =1.

СЛАЙД 8. Конечно, эта модель очень грубая и дает большую ошибку, особенно для уровней в диапазоне от 0,1 до 0,6. Чтобы уменьшить ошибку, можно попробовать несколько изменить  (например, увеличив его до 1,2), однако точность приближения по-прежнему будет невысокая, хотя лучше, чем в первом случае, если обычно уровень мало изменяется вблизи среднего значения =0,5 м можно применить другой подход. В этой области кривая   (1)почти совпадает с касательной в точке (0,5; ) угол наклона которой равен производной (2)

.                                       (2)

Уравнение касательной, проходящей через точку (0,5; ), имеет вид (3):

.                                                               (3)

Свободный член определим  по равенству (4):

                             (4)

Так получаем модель (5)

                                            (5)

       Это линейное уравнение, однако модель (2) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется, например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив  и :  , 2⋅ .

Принцип суперпозиции также не выполняется

       Для того, чтобы получить из (5) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки (), в которой мы определили наклон касательной. Из (5) следует, что (6)

                                                       (6)

       Поскольку график зависимости (5) проходит через точку (), можно применить равенство (7)

 .                                                  (7)

СЛАЙД 9. Тогда из (6) находим (8)

                                                (8)

       Полученное таким образом уравнение - это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки (). Приближенная модель (6) точнее всего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать.