Модуль 10. Определенный интеграл

10.1. Основные свойства и методы вычисления

   Пусть функция f(x) задана в некотором отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками а< х₀< х₁<…< х_n< в. Обозначим  через . Выберем в каждом промежутке  произвольную точку и составим сумму

                                                                    (25)

    Если существует конечный предел интегральной суммы (25) при , то его называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке от а до в и обозначается .

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

                    f(x)dx = -  f(x)dx.

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f(x)dx = 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части:

                             f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

[ f (х) + f₂ (х) – f₃ (х)] dx = f₁ (x)dx + f₂ (x)dx + f₃ (x)dx.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

                                 сf(x)dx = с f(x)dx.

6. Если функция f(x), интегрируемая на отрезке , и f(x) ³ 0 для всех х Î , то f(x)dx ³ 0.

7. Если функции f(x), j(х) интегрируемы на отрезке  и

f(x) £ j(х) для всех х Î , то f(x)dx £ j(х)dx.

   Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница:

           f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)                                 (26)

   Пример 67. Вычислить интеграл dx.

   Решение. Применяя формулу (26) и свойства определенного интеграла, получим

    Правило интегрирования по частям в определенном интеграле:

,

где u и v - функции независимой переменной.

    Пример 68. Вычислить интеграл .

    Решение:

=  = (х -1)cos  -  = (p - -1)cosp +1+ cos = 1 - p + 1 -1 - 1 = - p.

 

    Правило замены переменной в определенном интеграле:

     Если в интервале    функции х = j(t), j¢(t) и f (j(t)) -непрерывны и j(а) = a, j(в) = b, то

.

     Пример 69. Вычислить интеграл

     Решение:

= = =

=  = 4.