2020-08-05
370
Проведем вычисления кривизн для указанных поверхностей.
(а). плоскость. Ее задание
.
Находим частные производные:
, 
, 
.
По вычислительным формулам для 
, 
, 
, п. III.6, имеем: 
. Значит, см. формулы для 
и 
в п. III.10,
, 
.
Полная и средняя кривизны плоскости равны нулю;
(б). сфера. Поверхность задается функцией
г (u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u). Находим частные производные:
.
Находим частные производные:
,
,
,
,
.
Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы сферы, см. (III.4.2):
, 
, 
.
Детерминант первой квадратичной формы:
.
Вычисляем коэффициенты второй квадратичной формы, п. III.6:
,
, 
, 
.
; 
; 
.
Наконец, вычисляем полную и среднюю кривизну, п. III.10:
, 
.
Полная и средняя кривизны сферы постоянны и положительны;
(в). псевдосфера. Это поверхность, полученная в результате вращения трактрисы
вокруг оси Oz. Поверхность задается функцией
.
Находим частные производные
,
,
,
,
.
Коэффициенты первой квадратичной формы псевдосферы
, , 
, .
Находим произведения векторов и коэффициенты второй квадратичной формы поверхности:
,
, , 
.
; 
; 
.
Вычисляем полную и среднюю кривизну, п. III.10:
, 
.
Полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна. За это свойство рассматриваемая поверхность названа псевдосферой.
Каждая точка плоскости есть точка уплощения, п. III.8. Существуют и другие поверхности, имеющие нулевую полную кривизну. Например, цилиндр 
- поверхность нулевой полной кривизны.
