2020-08-05
144
Относительно линий второго порядка на плоскости определены сопряженные направления. У эллипса (гиперболы, параболы, пары прямых) середины семейства параллельных хорд коллинеарны. Направления на плоскости, определяемые хордами и серединами параллельных хорд называются сопряженными. Взаимно перпендикулярные сопряженные направления называются главными. Относительно всякой линии второго порядка на плоскости существует или единственная пара главных направлений, или для любого направления имеется перпендикулярное сопряженное направление - как относительно окружности.
Индикатриса Дюпена в касательной плоскости поверхности в точке касания определяет главные направления. Кривизны нормальных сечений поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами. Их обозначение: 
, 
. Произведение
называется полной или гауссовой, кривизной поверхности в данной точке 
- в точке, где вычисляются коэффициенты квадратичных форм поверхности и рассматривается касательная плоскость. Полусумма
|
|
|
называется средней кривизной поверхности в точке .
III.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН ПОВЕРХНОСТИ.
Рассматриваем регулярную поверхность 
в окрестности точки . Дифференциалы 
, 
из (III.7.1) подставим в выражение (III.6.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на 
приходим к равенству
.
Отсюда получаем
.
Дифференцируем это равенство по 
и по 
:
Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае 
.
.
Значение определителя
.
Главные кривизны , есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виетта:
, 
.
Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных кривизн.
