III. 7. Индикатриса кривизны

В точке  поверхности  рассматриваем касательную плоскость . Во всех направлениях в точке  в  и в  к линиям  на  проводим касательную прямую , она лежит в плоскости . Вектор касательной

выписан выше, в п. III.6. В каждом направлении от точки  откладывается отрезок

.

В репере  касательной плоскости  обозначим . Тогда

.

Так как векторы ,  неколлинеарны, то

, . (III.7.1)

Выражения  и  через  и  подставим в формулу (III.6.3) нормальной кривизны поверхности

,

откуда получаем

.

Линия, определяемая этим уравнением, называется индикатрисой кривизны в точке  или индикатрисой Дюпена, и является центральной линией второго порядка – это либо эллипс, либо две сопряженные гиперболы, либо пара параллельных прямых. Значение детерминанта индикатрисы  определяет вид индикатрисы.