2020-08-05
84
Оскільки існує велика кількість функцій від вибіркових значень, які можна використати як оцінки параметрів, для вибору найкращої оцінки необхідно ввести критерій порівняння якості оцінок, вибрати міру, яка характеризує близькість оцінки 
до істинного значення параметра 
, який оцінюється. Проблема полягає в тому, що будь-яка оцінка, є величиною випадковою, тому що вона подає, собою функцію від вибірки обмеженого обсягу. Тому судити про її якість з реалізації тільки у даній вибірці не можна. Необхідно за законом розподілу оцінки, за формою кривої розподілу, з її розташування на числовій осі щодо оцінюваного параметра розсудити про те, або добре, чи незадовільно її підібрано.
Наприклад, на рис. 1 продемонстровано три криві розподілу оцінок різної якості під номерами 1- Очевидно, що розподіл типу 3 є дуже незадовільним, тому що середнє значення цієї оцінки є зміщеним вправо щодо істинного значення і, отже, значення буде оцінюватися із систематичною похибкою убік завищення. У розподілу цієї оцінки порівняно великим є і розсіювання.
|
|
|
Рисунок 1 – Криві розподілу оцінок
Подібність розподілів оцінок 1 і 2 між собою полягає в тому, що їхні середні значення оцінок знаходяться біля істинного значення параметра а, тобто зміщення в оцінці параметра при цьому відсутні чи є незначними. Однак розподіл типу 2 має істотно меншу дисперсію в порівнянні з розподілом 1. Тобто розсіювання значень оцінки 2, отриманої за даними вибірки, щодо істинного значення параметра у цьому разі буде меншим, ніж для оцінки 1, тому її слід вважати кращою.
Функції результатів спостережень (вибірки), що використовують для оцінки параметрів розподілів, називаються статистиками. У цій термінології оцінкою параметра є статистика ; реалізація якої, отримана по даній вибірці, приймається за невідоме значення параметра .
.
Взагалі, відповідно до узагальненої теореми великих чисел у вигляді границі ибіркова оцінка називається обґрунтованою, якщо під час збільшення обсягу вибірки 
вона збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра .
Оцінка параметра називається незміщеною, якщо математичне сподівання оцінки дорівнює оцінюваному параметру :
.
У противному випадку оцінка називається зміщеною.
Оцінка параметра називається ефективною, якщо її дисперсія є мінімальною з усіх можливих дисперсій його оцінок:
Якщо зі збільшенням обсягу вибірки дисперсія оцінки прагне до будь-якого граничного (мінімального) значення, наприклад, як на рис. 2, оцінка називається асимптотично ефективною.
Рисунок 2 – Дисперсія асимптотично ефективної оцінки
|
|
|
Задовольнити всім трьом вимогам оцінки параметра розподілу (обґрунтованості, незміщеності та ефективності) разом звичайно не вдається. Насамперед це стосується спільного виконання останніх двох вимог.
Оцінювання параметра традиційно проводять у два етапи. На першому етапі визначають статистику , значення якої при даній реалізації вибірки приймають за наближене значення оцінюваного параметра : 
.
Цю процедуру в математичній статистиці називають точковим оцінюванням, а величину – точковою оцінкою.
На другому етапі оцінюють точність і надійність точкової оцінки, яка за своєю природою є величиною випадковою. Ця процедура полягає в знаходженні інтервалу, де із заданою ймовірністю міститься невідоме значення параметра, що оцінюється. Цей етап звичайно називають інтервальним оцінюванням.
Далі розглянемо основні методи, що дозволяють провести точкове і інтервальне оцінювання параметрів.
