ПРОИЗВОДЫЕ И ДИФФЕРИНЦИАЛЫ
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Применение методов дифференциального исчисления для анализа функций
Функция f (х) называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) > f(х1). Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравенство f (х2) f(х1), то функция называется неубывающей в этом интервале.
Функция f (х) называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) < f(х1).Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравенство f (х2) f(х1), то функция называется невозрастающей в этом интервале. Функции возрастающие и убывающие, а также функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.
|
|
Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) > 0, то функция f (х) в этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Производные сложных функций.
Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида
(f(g(x)))'=f'(g(x))⋅g'(x)
Правила интегрирования
Основные правила интегрирования
Постоянный множитель выносится за знак интеграла.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.
В частности,
где k и b — числа.
Вычисление неопределенных и определённых интегралов.
Неопределённый интеграл- это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:
,
где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.
Дифференциал- произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.