2020-09-24
146
Элементом автоматики называется функционально и конструктивно законченное устройство, предназначенное для выполнения некоторой элементарной операции над сигналом (сигналами). Типичные операции:
— преобразование контролируемой величины в сигнал, удобный для дальнейшей обработки и дистанционной передачи (измерительные преобразователи и датчики);
— преобразование сигнала одного рода энергии в сигнал другого рода энергии (электропневматические, пневмоэлектрические и другие преобразователи);
— преобразование сигнала по величине энергии (усилители);
— преобразование непрерывного сигнала в дискретный и наоборот (аналого-цифровые, цифроаналоговые преобразователи);
— преобразование сигнала переменного тока в сигнал постоянного тока и наоборот (демодуляторы, модуляторы, также выпрямитель и инверторы в СПТ);
— функциональные преобразование сигналов (счетно-решающие устройства);
— выполнение логических операций (логические элементы);
— сравнение сигналов (элементы сравнения);
— коммутация сигналов по различным направлениям;
— хранение сигналов (элементы памяти);
— использование сигналов для воздействия на управляемый объект (исполнительные элементы).
В зависимости от рода физических процессов в системе автоматического управления элементы автоматики делятся на механические, тепловые, акустические, электрические, магнитные, электромагнитные, электронные и др.
Один и тот же принцип может использоваться в элементах автоматики, имеющих различное функциональное назначение. С другой стороны, элементы автоматики, выполняющие одни и те же функции, могут иметь различные принципы действия.
По энергетическому признаку элементы автоматики делятся на пассивные и активные. Пассивные элементы не содержат дополнительных источников энергии. Энергия выходного сигнала обеспечивается за счет энергии входного сигнала. Поэтому с учетом потерь мощность выходного сигнала меньше мощности входного сигнала.
Активные элементы автоматики имеют дополнительный источник энергии. Входной сигнал элемента управляет передачей энергии дополнительного источника. Мощность выходного сигнала может быть больше мощности входного.
Статическая характеристика элемента. Процессы, происходящие в элементах автоматики, в общем случае описываются нелинейным уравнением
(1.1)
Обычно n > m.
В установившемся режиме все производные в уравнении (1.1) равны нулю, и оно принимает вид уравнения статики:
F(y,x) = 0. (1.2)
Из (1.2) можно получить статическую характеристику элемента
у = f(х). (1.3)
Статической характеристикой называется зависимость между выходной и входной величинами в установившемся режиме. Статическую характеристику можно представить в виде формулы, таблицы и графика.
Статическая характеристика элемента автоматики может описываться непрерывной или разрывной функцией. Примеры статических характеристик показаны на рис. 1.5.
Свойства непрерывной статической характеристики (рис. 1.5, а) могут быть выражены коэффициентом передачи (коэффициентом преобразования). Различают статический и дифференциальныйкоэффициент передачи (КП).
Дифференциальным КП называется предел отношения приращений Δ у к Δ х: k диф = dy/dx. В общем случае дифференциальный КП имеет переменное значение.
Статический КП – это отношение выходной величины к входной: k ст = y 0 /x 0.
Статическая характеристика называется линейной, если она описывается линейным уравнением и, следовательно, ее график имеет форму прямой линии. Элемент с такой характеристикой называется линейным. Для линейного элемента k диф = const, а если прямая проходит через начало координат, то и k ст = const. Если статическая характеристика описывается нелинейным уравнением, то она называется нелинейной. Реальным элементам свойственны нелинейные характеристики; для них k диф и k ст зависят от х.
В усилителях КП называется коэффициентом усиления, а в измерительных преобразователях и датчиках – чувствительностью.
На рис. 1.5, б показана разрывная статическая характеристика, данная ее разновидность называется релейной, так как выходная величина может принимать только два значения. При непрерывном увеличении входной величины выходная величина в точке x = x сраб изменяется скачкообразно. Значение x сраб называется параметром срабатывания.
В процессе последующего уменьшения входной величины до значения x отп также происходит скачкообразное изменение выходного сигнала. Значение x отп называется параметром отпускания.
Отношение параметров отпускания и срабатывания называется коэффициентом возврата: kв = x отп / x ср < 1.
Динамические характеристики элементов. В реальных условиях воздействия на элементы автоматики изменяются; в этом случае элемент находится в неустановившемся (переходном) режиме.
В переходном режиме работа элемента описывается дифференциальным уравнением (1.1), которое, даже если математически точно описывает процесс, все же, как правило, не дает о нем наглядного представления. Решив уравнение, можно найти динамические характеристики, которые чаще всего описывают реакцию элемента на типовое воздействие.
Рассмотрим некоторые типовые воздействия.
1. Единичное ступенчатое воздействие. Математически выражается единичной ступенчатой функцией 1(t) (показать):
|
|
(1.4)
2. Воздействие, описываемое единичной импульсной функцией δ(t). Функция δ(t) представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, площадь которого равна 1 (показать):
(1.5)
Единичная ступенчатая функция и единичная импульсная функция связаны соотношениями:
(1.6)
3. Гармоническое воздействие
х (t) = Х msin(ωt + φ). (1.7)
где Х m – амплитуда входного сигнала; ω – угловая частота; φ – начальная фаза.
Рассмотрим динамические характеристики линейных элементов.
Для линейного элемента дифференциальное уравнение (1.1) имеет вид:
(1.8)
При исследовании динамических звеньев и вообще динамических систем широко применяется операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа (ТОЭ!). Вообще преобразование Лапласа – один из самых мощных инструментов для решения очень многих прикладных задач в области электротехники, автоматики, теории управления, теории массового обслуживания и т.д. Часто задача считается решенной, если найдено изображение по Лапласу от искомой функции.
Напомним формулу преобразования Лапласа:
(1.9)
где р – вообще говоря комплексная переменная: p = a + jb.
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.8), получим дифференциальное уравнение в операторной форме:
| (anpn + an–1pn–1 + an–2pn–2 + … +a1p + a0)Y(p) = = (bmpm + bm–1pm–1 + bm–2pm–2 + … +b1p + b0)X(p), | (1.10) |
где X (p) и Y (p)– изображения по Лапласу соответственно входного и выходного сигналов.
По аналогии с коэффициентом передачи для входного и выходного сигналов вводится понятие передаточной функции W(p) = Y(p)/X(p).
Передаточную функцию всегда можно представить как отношение двух полиномов. Для системы, описываемой уравнением (1.8), передаточная функция
(1.11)
Имея передаточную функцию, легко определить реакцию (отклик) элемента на произвольное входное воздействие x (t). Находим изображение X (p), после чего
Y (p) = X (p)· W (p). (1.12)
Далее находим оригинал y (t) для изображения Y (p) по таблицам обратного преобразования Лапласа, либо по формуле разложения (см. ТОЭ).
Широко используются такие динамические характеристики элементов как переходная функция и импульсная функция. Рассмотрим их.
Реакция элемента на входное воздействие, имеющее вид единичной ступенчатой функции 1(t), называется переходной функцией элемента h(t). Реакция элемента на входное воздействие, имеющее вид единичной импульсной функции δ(t), называется импульсной функцией элемента w(t).
Переходная и импульсная функции элемента связаны между собой. Импульсная функция равна производной от переходной функции:
(1.13)
Будем обозначать связь изображения и оригинала как f (t) Û F (p). Запишем несколько важных соотношений:
| (1.16) |
(1.14)
Сравнивая (1.12) и (1.14), видим, что изображение импульсной функции звена дает его передаточную функцию:
(1.16)
Если на вход линейного элемента подать гармоническое воздействие (1.7), то в установившемся режиме выходная величина будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой, которую имеет входная величина, но с другими амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза выходного сигнала зависят от частоты воздействия, эти зависимости – это знакомые АЧХ и ФЧХ. По их изменениям можно судить о динамических свойствах элемента.
1.4. Типовые динамические звенья
Общие понятия
Для анализа процессов, происходящих в САУ, необходимо составить уравнение, которое описывает работу системы. Из-за сложности современных САУ получить такое уравнение затруднительно. Поэтому обычно систему разбивают на сравнительно простые части, называемые динамическими звеньями. Динамическое звено (ДЗ) должно описываться относительно простым уравнением. [Статические звенья являются частным случаем динамических, и их тоже относят к ДЗ].
Наиболее часто в качестве ДЗ рассматривается элемент автоматики или отдельная его часть. Однако в отличие от элемента автоматики ДЗ не обязательно является конструктивно-целостным устройством. В некоторых случаях одним ДЗ могут быть представлены несколько элементов системы. ДЗ может вообще не иметь физического смысла, а лишь отражать какую-либо математическую зависимость между некоторыми переменными процесса. Состояние любого динамического звена характеризуется совокупностью соответствующих физических величин: электрические звенья характеризуются напряжением, током и их производными, механические звенья – перемещением, скоростью, ускорением. Одна из физических величин х является входной величиной звена, а другая у – выходной.
Независимо от физической природы, принципа действия, назначения и устройства ДЗ различаются динамическими характеристиками, которые определяются видом уравнения, описывающего работу звена.
Типовые динамические звенья: а) линейны; б) наиболее часто встречаются в структуре систем; в) описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Небольшим числом типовых звеньев или их комбинацией можно представить все разнообразные линейные элементы автоматики.
Типовые звенья могут быть разделены на следующие группы: позиционные, интегрирующие, дифференцирующие и с постоянным запаздыванием.
Позиционные (или статические) звенья имеют в установившемся режиме линейную зависимость между выходной и входной величинами вида у = кх. Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами называется коэффициентом передачи звена.
Интегрирующие звенья имеют линейную зависимость между производной от выходной величины и входной величиной dy/dt = k х в установившемся режиме, или, что то же, 
откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом интегрирующего преобразования.
Дифференцирующие звенья имеют линейную зависимость между выходной величиной и производной от входной величины у = k dx/dt в установившемся режиме, откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом дифференцирующего преобразования.
Звенья, описываемые трансцендентными или иррациональными уравнениями, не относятся к типовым и здесь не рассматриваются.
Позиционные звенья
1. Безынерционное (пропорциональное) звено. Такое звено не только в установившемся, но и в переходном режиме описывается алгебраическим уравнением у = k х. Передаточная функция звена есть константа: W(p) = k.
Примером безынерционного звена может служить схема на ОУ, если на входе схемы и в цепи обратной связи стоят только резисторы. Еще примеры: делитель напряжения, механический редуктор, трансформаторы, многие датчики (потенциометрические датчики, тахогенераторы).
Переходная и импульсная функции звена имеют вид:
h(t) = k; w(t) = kδ(t). (1.17)
Частотная передаточная функция |W(jω)| = k, т.е. не зависит от частоты. Фазовый сдвиг на всех частотах равен нулю.
Приведенное математическое описание соответствует идеальному звену. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Так, даже в простейшем делителе напряжения есть емкость проводов и индуктивность выводов (или проводника, если резистор проволочный); в ОУ влияют емкости полупроводниковых приборов, в механическом редукторе – инерционность и упругость валов и т.д.
2. Апериодическое звено первого порядка. Звено описывается дифференциальным уравнением
(1.18)
где Т – постоянная времени звена; k – коэффициент передачи.
Передаточная функция звена
(1.19)
Такое звено называется также инерционным, или одноемкостным. К нему сводится любая линейная система с одним накопителем (энергии, массы) и потерями.
Примеры апериодического звена первого порядка:
– сглаживающая RC -цепь с постоянной времени T = RC для сигнала напряжения; RL -цепь с постоянной времени T = L / R, если выходной сигнал – ток;
– электродвигатель постоянного тока с управлением по цепи якоря, если пренебречь индуктивностью якорной цепи. При этом входной величиной будет напряжение якоря, а выходной – частота вращения;
– нагревательная печь: входная величина – мощность, затрачиваемая на нагрев, выходная – температура в печи.
Переходная и импульсная функция легко находятся преобразованием Лапласа:
(1.20)
 |
Графики переходной и импульсной функций звена построены на рис. 1.8. Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в точке t = 0, равен постоянной времени Т. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше переходный процесс. Практически переходный процесс считается закончившимся через промежуток времени t пер = (3–4) Т.
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики будут иметь вид:
(1.21)
3. Звено второго порядка соответственно описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
(1.22)
где T – постоянная времени; ξ (кси) – относительный коэффициент затухания; k – коэффициент передачи.
Передаточная функция очевидна:
(1.23)
Звено 2 порядка может быть апериодическим и колебательным.
У апериодического звена второго порядка относительный коэффициент затухания ξ > 1, вследствие этого характеристическое уравнение имеет два отрицательных вещественных корня. Тогда знаменатель передаточной функции (1.23) может быть разложен на множители, следовательно, звено может быть представлено последовательным соединением двух апериодических звеньев первого порядка:
(1.24)
Переходные процессы представляют собой комбинацию двух экспонент:
(1.25)
 |
Графики переходной и импульсной функций звена приведены на рис. 1.9.
| В |
Для колебательного звена выполняется условие ξ < 1; при этом условии корни характеристического уравнения будут комплексными, и процесс будет колебательным.
Примеры колебательного звена: электрическая RLC-цепь, упругая механическая система с существенным влиянием массы, центробежный маятник как измеритель угловой скорости и т.д.
Переходная и импульсная функции звена могут быть найдены с помощью теоремы разложения:
(1.26)
где 
| ^^^SSSSS |
Если относительный коэффициент затухания ξ = 0, то колебания в таком звене не будут затухать, угловая частота колебаний ωk = 1/ Т. Такое звено называется консервативным, т.е. колебательным звеном, в котором отсутствует рассеяние энергии внутри звена.
Интегрирующие звенья
1. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением dy/dt = кх.
Передаточная функция
(1.27)
Выходная величина этого звена пропорциональна интегралу от входной величины, чем и объясняется название звена. Это звено называют также астатическим.
Переходная и импульсная функции звена имеют вид:
h (t) = kt ∙1(t); w(t) = k∙1(t). (1.28)
2. Реальное интегрирующее звено имеет передаточную функцию
(1.29)
Видно, что реальное интегрирующее звено можно представить как совокупность двух включенных последовательно звеньев: идеального интегрирующего и апериодического первого порядка.
Для нахождения временных характеристик удобно W (p) представить в виде суммы
(1.30)
Тогда и отклик на воздействие есть алгебраическая сумма откликов идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка:
(1.31)
Графики временных функций – на рисунке 1.10.
Примеры:
1. Интегратор на ОУ очень близок к идеальному (пока не в насыщении).
2. Электродвигатель, если на входе частота вращения, а на выходе угол поворота вала. Если же на входе ЭД ПТ – напряжение обмотки якоря U я, и мы считаем, что частота вращения пропорциональна U я, то это реальное интегрирующее звено, Идеальным оно будет, если пренебречь инерцией якоря и нагрузки.
