Звено с постоянным запаздыванием

Выходная величина без искажений повторяет входную величину, как идеальное безынерционное звено, но с запаздыванием относительно входной на постоянное время τ, называемое временем запаздывания. Уравнение звена

y=kx(t – τ),                                                   (1.37)

причем   у = 0 при t < τ.

По форме – это не ДУ, но тем не менее очевидно: это динамическое звено.

График переходной функции запаздывающего очевиден: сдвиг во времени любого сигнала, в том числе единичного скачка (показать).

Для получения передаточной функции запаздывающего звена необходимо разложить функцию x(t – τ) в ряд Тéйлора, затем преобразовать этот ряд по Лапласу. Выражая отсюда передаточную функцию, получаем ряд, известный в математике как разложение функции е^–рτ (см. слайд). Можно и непосредственно интегрировать (1.16).

Таким образом, передаточная функция запаздывающего звена

W (p) = k е^–τр.                                              (1.38)

АЧХ и ФЧХ:

K (ω) = k; φ (ω) = – τω.                                    (1.39)

Как видим, идеальное звено с постоянным запаздыванием описывается с помощью ДУ бесконечного порядка. Тем не менее, его принято относить к типовым.

Звенья с постоянным запаздыванием используются, например, при математическом описании динамики систем с транспортным запаздыванием (трубопроводы, конвейеры).

Бывают технические задачи, в которых необходимо осуществить задержку сигнала на определенное время. Устройство задержки должно строиться так, чтобы его АЧХ и ФЧХ приближались к (1.39). Можно использовать для построения устройства задержки последовательность каскадов на ОУ или лестничную LC -схему.

Типовые нелинейности

Нелинейным элементом принято называть то или иное устройство, входящее в схему регулирования, у которого зависимость между входной и выходной величинами у = f(x) носит нелинейный характер. Реальные элементы судовых автоматических систем в большинстве случаев нелинейны, и лишь при определенных условиях их можно считать линейными. Рабочий процесс в линейных элементах описывается линейными уравнениями, соответственно для описания рабочего процесса в нелинейных элементах требуется привлечение нелинейных уравнений. Для нелинейных элементов не справедливы принцип суперпозиции и его следствия.

Система регулирования оказывается нелинейной, если нелинейными свойствами обладает объект регулирования, регулятор или элемент (элементы) канала преобразования (измерительные, усилительные, исполнительные устройства). Другими словами, нелинейной является любая динамическая система при наличии в ней хотя бы одного элемента, для которого не выполняется принцип суперпозиции. Из основного свойства нелинейных элементов вытекают другие характерные их свойства, связанные с тем, что протекающие в них процессы гораздо сложнее процессов в линейных системах.

Так, в системах, содержащих нелинейные элементы, возможны при отсутствии внешних возмущений устойчивые колебания определенной амплитуды и частоты, называемые обычно автоколебаниями. Внутренние нелинейные свойства элементов могут определить наличие в системе нескольких видов устойчивых периодических колебаний с разными частотами и соответствующими определенными амплитудами.

Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на характеристики со слабой нелинейностью и с существенной нелинейностью.

К группе характеристик со слабой нелинейностью относят такие нелинейные характеристики, которые при малом отклонении сигнала от среднего значения могут быть заменены линейными. Такие характеристики можно аппроксимировать полиномами или выразить через однозначные аналитические функции. Например, из рассмотрения характеристик намагничивания электрических машин следует, что на­сыщение наступает постепенно и достигается при больших значениях МДС (входного сигнала). Эти характеристики могут быть приближенно аппроксимированы полиномом невысокой нечетной степени или другой дифференцируемой функцией. Наличие таких нелинейностей обычно мало сказывается на динамике системы, а именно: при малых значениях входных сигналов система ведет себя как линейная и только при больших входных сигналах проявляются ее нелинейные свойства, учет которых в этом случае необходим (примеры).

К группе характеристик с существенной нелинейностью относят, например, разрывные характеристики или близкие к ним. Для элементов, обладающих такими нелинейными характеристиками, зависимость между входной и выходной переменными обычно может быть приближенно представлена в виде совокупности кусочно-линейных функций. Нелинейности второй группы весьма широко используются в судовых системах автоматики. Преобразования любого входного сигнала нелинейными элементами с такими характеристиками всегда нелинейны.

Типовые характеристики нелинейных звеньев приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Типовые характеристики нелинейных звеньев

1. Ограничение (насыщение)	2. Зона нечувствительности
3. Зона нечувствительности с насыщением	4. Релейный элемент (сухое трение)
5. Релейная характеристика с зоной нечувствительности	6. Релейная характеристика с гистерезисом
7. Релейная характеристика с зоной нечувствительности и гистерезисом	8. Пропорциональное звено с коэффи­циентом передачи, зависящим от знака
9. y = kx 2	10. y = kx3
11. Люфт

Нелинейные характеристики принято делить на однозначные и неоднозначные. У элемента с неоднозначной нелинейной характеристикой одному значению входного сигнала соответствует более одного (практически – два) значения выходного сигнала. В поведении звена это чаще всего проявляется в том, что при увеличении входного сигнала выходная величина изменяется по одному закону, а при уменьшении входного сигнала – по другому.

В соответствии с этим типовые нелинейности 6, 7 и 11 имеют неоднозначные характеристики, а остальные – однозначные.

Нелинейности 1–3 характерны для многих усилителей, механических, гидравлических, электромеханических систем (примеры). Нелинейность 4 – типичный компаратор. Нелинейности 5 и 6 являются идеализированными характеристиками многих устройств релейного типа, электромагнитов. Нелинейность 11 характеризует зависимость между входными и выходными сигналами в механических передачах.

Все нелинейные характеристики, приведенные в таблице, идеализированы, то есть могут быть выражены с помощью простых функций. Реальные нелинейные элементы могут быть сведены к типовым только с некоторым приближением.