1. .
Свойство справедливо для любого количества слагаемых.
2. .
3. Если , то .
4. Если в области D, тогда ,
S – площадь области D.
5. Теорема о среднем: В области D существует точка , в которой выполняется равенство: , S – площадь области D.
6. Если область D разбита на 2 непересекающиеся части D1 и D2, тогда
.
Свойство справедливо, когда область D разбита на любое количество непересекающихся частей.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Разобьем область D на части прямыми, параллельными осям координат x=const, y=const, тогда части будут являться прямоугольниками.
, dS=dxdy.
Таким образом, получаем двойной интеграл по области D:
.
Определение: Область называется правильной в направлении оси х, если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу области не более чем в 2-х точках.
Аналогично область является правильной в направлении оси у.
Если искомая область не является правильной, то ее нужно разбить на части, каждая из которых будет являться правильной в направлении данной оси.
Рассмотрим цилиндрическое тело.
Предположим, что область D является правильной в направлении оси y.
Проведем сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси х. Площадь сечения зависит от х, т.е. S(x) – площадь сечения.
.
Тогда площадь сечения будем находить как площадь криволинейной трапеции .
- повторный интеграл.
Интеграл dy – внутренний интеграл, dx – внешний интеграл.
Если область D правильная в направлении оси х, тогда
.
Повторные интегралы одной области равны между собой.
Пример. Перейти от двойного интеграла к повторному.
, где D: x=0, x=1, y=0, y=ex
.
Пример. Вычислить двойной интеграл , где D: y=x, y=2x, x=2.
.
;
.
Замена переменной в двойном интеграле.
Пусть дан двойной интеграл по некоторой области D и пусть в области D выполняется условие . Предположим, что для любой пары x,y из области D данная система имеет единственное решение, тогда справедливо равенство:
, где I – якобиан перехода.
.