Выбор пороговых значений диагностических параметров. 88

Теория, примеры, задачи

 

Учебное пособие

 

 

Омск
Издательство ОмГТУ
2018

 

УДК 519.23:681.518.5(075)

ББК 22.172+30.605я73

Н34

 

Рецензенты:

А. А. Кузнецов, д-р техн. наук, профессор;

Д. А. Титов, канд. техн. наук, доцент

 

Науменко, А. П.

Н34   Вероятностно-статистические методы принятия решений: теория, примеры, задачи: учеб. пособие / А. П. Науменко, И. С. Кудрявцева,
А. И. Одинец; Минобрнауки России, ОмГТУ. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2018. – 108 с.: ил.

ISBN 978-5-8149-2720-0

Рассмотрены вероятностно-статистические методы принятия решений как для оценки надёжности в процессе испытаний изделий, продукции, объектов различных областей техники, так и для решения задач технической диагностики.

Пособие соответствует рабочим программам учебных дисциплин «Теория и методы мониторинга и диагностики», «Планирование и организация неразрушающего контроля» и предназначено для обучающихся по направлениям: 11.04.03 «Конструирование и технология электронных средств»; 11.04.01 «Радиотехника»; 12.04.01 «Приборостроение»; 11.04.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»; 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника», 12.03.01 «Приборостроение».

УДК 519.23:681.518.5(075)

ББК 22.172+30.605я73

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

ISBN 978-5-8149-2720-0

© ОмГТУ, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 5

Метод Байеса. 8

Основы метода. 9

Обобщённая формула Байеса. 10

Диагностическая матрица. 14

Пример. 18

Контрольные вопросы.. 25

Задание для практической работы.. 26

Метод последовательного анализа. 31

Связь границ принятия решения с вероятностями ошибок первого и второго рода. 34

Пример. 35

Контрольные вопросы.. 36

Задания для практических работ. 37

Объем испытаний методом последовательного анализа. 39

Планирование испытаний для нормального закона. 40

Пример. 43

Контрольные вопросы.. 44

Задания для практических работ. 44

Планирование испытаний для биномиального закона. 46

Пример. 47

Контрольные вопросы.. 49

Задания для практических работ. 49

Планирование испытаний для экспоненциального закона. 51

Пример. 53

Контрольные вопросы.. 53

Задания для практических работ. 53

Планирование испытаний для распределения Пуассона. 56

Пример. 58

Контрольные вопросы.. 58

Задания для практических работ. 59

Теоретические основы вероятностно-статистических методов принятия решений. 61

Метод минимального риска. 63

Пример. 66

Контрольные вопросы.. 69

Метод минимального числа ошибочных решений. 70

Пример. 71

Контрольные вопросы.. 73

Метод наибольшего правдоподобия. 74

Пример. 75

Контрольные вопросы.. 76

Метод минимакса. 78

Пример. 80

Контрольные вопросы.. 83

Метод Неймана - Пирсона. 84

Пример. 85

Контрольные вопросы.. 87

Выбор пороговых значений диагностических параметров. 88

15 Задания для практических работ. 90

15.1   Задача № 1. 90

15.2   Задача № 2. 90

15.3   Задача № 3. 91

15.4   Задача № 4. 91

15.5   Задача № 5. 91

15.6   Задача № 6. 91

15.7   Дополнительные данные к задачам № 1-6. 91

Вместо заключения. 94

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 95

Дополнительная литература. 96

 

ВВЕДЕНИЕ

Функционирование методов и средств технической диагностики основывается на том, что в общем случае на основе совокупности диагностических признаков, каждый из которых с определённой вероятностью характеризует состояние диагностируемого объекта, необходимо сформировать решающее правило, с помощью которого выделенная совокупность признаков была бы отнесена к одному из возможных состояний (диагнозов) [1, 2]. В частном случае необходимо провести выбор одного из двух диагнозов (дифференциальная диагностика или дихотомия), например, «исправное состояние» и «неисправное состояние» [7].

В таких случаях применяются вероятностно-статистические методы принятия решений, при этом эффективность принимаемых решений зависит от факторов, представляющих собой случайные величины, для которых известны законы распределения вероятностей и другие статистические характеристики. При таком подходе каждое решение может привести только к одному из множества вероятных исходов, причём вероятность каждого исхода может быть определена расчётными методами. Параметры каждого показателя, включённого в совокупность признаков, также описываются с помощью вероятностных характеристик [19, 17].

На практике вероятностные и статистических методы часто применяются, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию изделий). Однако при этом в каждой конкретной ситуации следует предварительно оценить принципиальную возможность получения достаточно достоверных вероятностных и статистических данных.

Итак, суть вероятностно-статистических методов принятия решений состоит в использовании вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик [19, 17].

Основное же преимущество вероятностно-статистических методов распознавания состоит в возможности одновременного учёта признаков различной физической природы или механизмов формирования, так как эти методы оперируют безразмерными величинами – вероятностями их появления при возникновении различных состояний системы.

Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщённой формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и эффективности. Однако этот метод обладает одним существенным недостатком – «угнетение» редко встречающихся признаков, что недопустимо в случае мониторинга состояния опасных производственных объектов [7].

Метод Вальда (метод последовательного анализа) позволяет путём приближений решить задачу по принятию решения. Однако часто в условиях реальных производств применение метода Вальда для анализа признаков при диагностировании не обеспечивает минимизации величины ошибки постановки диагноза в связи с возможностью превышения интервала постановки диагноза [7, 6, 14, 13, 10, 14]. Тем не менее его использование вполне оправдано и даже необходимо при проведении контрольных испытаний и контроле качества произведённой продукции.

Такие методы вероятностно-статистических решений как минимального риска, минимального числа ошибочных решений, наибольшего правдоподобия, минимакса, Неймана-Пирсона позволяют выбрать решающее правило исходя из условий оптимальности, например, из условия минимального риска, минимизация одной из ошибок постановки диагноза при заданном уровне другой [3, 7, 8, 9, 11].

В общем виде условия принятия вероятностно-статистических решений при определении граничного значения x ₀ можно сформулировать следующим образом:

– метод минимального риска – добиваются минимума среднего риска;

– метод минимального числа ошибочных решений – принимают стоимости пропуска дефекта и ложной тревоги одинаковыми;

– метод наибольшего правдоподобия – принимают стоимость и вероятность пропуска дефекта приблизительно равными стоимости и вероятности ложной тревоги;

– метод минимакса – величина риска выбирается минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P_i;

– метод Неймана-Пирсона – минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги.

Часто оценки стоимости ошибок неизвестны, а их достоверное определение связано с большими трудностями. Вместе с тем ясно, что во всех случаях желательно при определённом (допустимом) уровне одной из ошибок минимизировать значение другой. Поэтому центром проблем является обоснованный выбор допустимого уровня ошибок на основе предыдущего опыта или интуитивных соображений.

Изучение и овладение вероятностно-статистическими методами принятия решений является существенной компетенцией специалистов в области радиотехники и приборостроения, позволяющей существенно повысить уровень решаемых задача и обеспечить высокую достоверность получаемых результатов.

 

Метод Байеса

Среди методов технической диагностики – метод, основанный на обобщённой формуле Байеса, который позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточными.

Метод Байеса имеет недостатки: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов и др. Однако
в случаях, когда объем статистических данных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использовать как один из наиболее надёжных и эффективных методов. Байесовский алгоритм принятия решения – это алгоритм, обеспечивающий минимум среднего риска [20, с. 325].

Байеса подход позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. В диагностике это позволяет «связать» диагностические признаки и повлёкшие их неисправности.

События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлёкшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учётом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учётом данных о событии).

Априорная вероятность – распределение вероятностей, которое выражает предположения до учёта экспериментальных данных. Другими словами, априорное распределение вероятностей неопределённой величины P – распределение вероятностей, которое выражает предположения о вероятности P до учёта экспериментальных данных.

 

Основы метода

Метод основан на простой формуле Байеса. Если имеется диагноз D_i и простойпризнак k_j, встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния D_i и признака k_j) можно определить следующим образом:

.

(1.1)

Из этого равенства вытекает формула Байеса – вероятность диагноза D_i при наличии признака k_j:

.

(1.2)

Очень важно определить точный смысл входящих в эту формулу величин:

· P (D_i) – вероятность диагноза D_i, определяемая по статистическим данным (априорная вероятность). Так, если предварительно обследовано N объектов и у N_i объектов имелось состояние D_i, то вероятность P (D_i) постановки диагноза D_i определяется как

.

(1.3)

Иными словами, если в корзине было 100 шаров (N =100), из которых 40 красных (N_i = 40), то вероятность выбора красного шара составляет P (D_i) = 40/100 = 0,4.

· P (k_j/D_i) – вероятность появления признака k_j у объектов с состоянием D_i. Если среди N_i объектов, имеющих диагноз D_i, у N_ij проявился признак k_j, то

.

(1.4)

Т.е., если у 40 красных шаров (N_i = 40) 10 шаров имели синюю точку (N_ij = 10), то вероятность появления признака «синяя точка» у красных шаров составляет P (k_j/D_i)= 10/40 = 0,25.

· P (k_j) – вероятность появления признака k_j во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак k_j был обнаружен у N_j объектов, тогда

.

(1.5)

Если из всех шаров (N =100) признак «синяя точка» имеется у 50 шаров (N_j = 50), то вероятность появления этого признака при выборе шаров из корзины составляет P (k_j)= 50/100 = 0,5.

Следовательно, если мы выбрали шар с «синей точкой», то вероятность того, что он красный есть: P (D_i / k_j)= 0,4∙0,25 / 0,5=0,2.

Для установления диагноза специальное вычисление P (k_j) не требуется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P (D_i) и P (k_j/D_i), известные для всех возможных состояний, определяют величину P (k_j).

В равенстве (1.2) P (D_i / k_j) – вероятность диагноза D_i после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака k_j (апостериорная вероятность диагноза).