Диагностическая матрица

Диагноз D_i	Признак k_j								P (D_i)
	k ₁			k ₂			k ₃
	k ₁₁	k ₁₂	k ₁₃	k ₂₁	k ₂₂	k ₂₃	k ₃₁	k ₃₂
	P (k ₁₁/ D_i)	P (k ₁₂/ D_i)	P (k ₁₃/ D_i)	P (k ₂₁/ D_i)	P (k ₂₂/ D_i)	P (k ₂₃/ D_i)	P (k ₃₁/ D_i)	P (k ₃₂/ D_i)
D ₁	0,6	0,2	0,2	0,7	0,15	0,15	0,9	0,1	0,9
D ₂	0,1	0,1	0,8	0,08	0,07	0,85	0,2	0,8	0,1

Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака

Отметим, что , где m_j – число разрядов признака k_j.

Сумма вероятностей всех возможных реализаций признаков равна единице.

Процесс обучения при использовании метода Байеса состоит в формировании диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти
при диагностировании следует хранить не только значения P (k_js/D_i), но и следующие величины: N – общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; N_i – число объектов с диагнозом D_i; N_ij – число объектов с диагнозом D_i, обследованных по признаку k_j. Если поступает новый объект с диагнозом D_µ, то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом:

(1.17)

Далее вводят поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом D_µ выявлен разряд r признака k_j. Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака k_j при диагнозе D_µ для каждого интервала s признака k_j_s:

(1.18)

Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют.

Решающее правило – правило, в соответствии с которым принимается решение о диагнозе. По методу Байеса объект, имеющий комплекс признаков K *, относится к диагнозу с наибольшей (апостериорной) вероятностью K ∈ D_i, если

(1.19)

Символ ∈, применяемый в функциональном анализе, означает принадлежность множеству. Условие (1.19) указывает, что объект, обладающий данной реализацией комплекса признаков K * или, короче, реализация K * принадлежит диагнозу (состоянию) D_i. Правило (1.19) обычно уточняется введением порогового значения для вероятности диагноза

(1.20)

где P_i – заранее выбранный уровень распознавания для диагноза D_i.

При этом вероятность наиболее ближайшего конкурирующего диагноза чаще всего не выше 1 – P_i. Обычно принимается P_i ≥ 0,9. При условии

(1.21)

решение о диагнозе не принимается (отказ от распознавания) и требуется получение дополнительной диагностической информации.

Как указывалось ранее, методу Байеса присущи некоторые недостатки, например, погрешности при распознавании редких диагнозов. При практических расчётах целесообразно провести диагностику и для случая равновероятностных диагнозов, положив

(1.22)

Тогда наибольшим значением апостериорной вероятности будет обладать диагноз D_j, для которого P (K ^*/ D_i) максимальна

K^*∈ D_i, если P (K^* / D_i)> P (K^* / D_j) (j= 1,2,…, n; i=j).

(1.23)

Иными словами, устанавливается диагноз D_i, если данная совокупность признаков чаще встречается при диагнозе D_i, чем при других диагнозах. Такое решающее правило соответствует методу максимального правдоподобия. Из предыдущего вытекает, что этот метод является частным случаем метода Байеса при одинаковых априорных вероятностях диагнозов. При использовании метода максимального правдоподобия вычисленные «частые» и «редкие» диагнозы равноправны.

Вероятность пропуска цели Р (H ₁₂) равна вероятности произведения двух событий: технический объект априорно имеет вероятность P (D ₂) нахождения объекта в состоянии с диагнозом D ₂, но по результатам диагностического обследования он отнесён к другому диагнозу D ₁ с вероятностью P (D ₁/ K):

Р (H ₁₂) = P (D ₂) P (D ₁/ K).

(1.24)

Таким образом, Р (H ₁₂) показывает вероятность постановки диагноза D ₁ (исправное состояние), при реально существующем состоянии с диагнозом D ₂(неисправное состояние), что соответствует ошибочному пропуску определения состояния с диагнозом D ₂. Вероятность такого события определяется вероятностью диагноза D ₁ при наличии признака K, который определяет не нулевое значение вероятности P (D ₂/ K).

Подобным же образом находится вероятность ложной тревоги:

Р (H ₂₁) = P (D ₁) P (D ₂/ K).

(1.25)

Следовательно, Р (H ₂₁) показывает вероятность постановки диагноза D ₂(неисправное состояние), при реально существующем состоянии с диагнозом D ₁(исправное состояние), что соответствует ошибочному пропуску определения состояния с диагнозом D ₁, т.е. мы приняли исправное состояние за неисправное, а это есть «ложная тревога». Вероятность такого события определяется вероятностью диагноза D ₂ при наличии признака K, который определяет не нулевое значение вероятности P (D ₁/ K).

По результатам диагностического обследования ошибочное решение будет принято, если имеет место пропуск цели или ложное срабатывание. Таким образом, вероятность ошибочного решения по правилу сложения вероятностей равна

Р (O) = Р (H ₁₂) + Р (H ₂₁) = P (D ₂) P (D ₁/ K) + P (D ₁) P (D ₂/ K).

(1.26)

Эта вероятность часто называется также уровнем значимости ошибки диагностирования.

Доверительная вероятность правильного решения при диагностировании определяется по формуле

Р (П) = P (D ₁) P (D ₁/ K) + P (D ₂) P (D ₂/ K)

(1.27)

как сумма вероятностей правильного определения каждого из диагнозов.

Пример

Задача. Из 1000 обследованных подшипников агрегата 900 подшипников выработали ресурс в исправном состоянии и 100 в неисправном.

Все подшипники были обследованы по следующим параметрам:

– среднее квадратическое значение (общий уровень) вибрации;

– температура;

– загрязнение смазки.

У N ₁₁=540 исправных подшипников (или 60%) среднее квадратическое значение вибрации лежало в диапазоне до 12 м/с², у N ₁₂=180 исправных подшипников (20%) вибрация была в пределах от 12 до 16 м/с² и у N ₁₃=180 (20%) – более 16 м/с².

У N ₂₁=630 исправных подшипников (70%) температура лежала в диапазоне до 70 ºС, у N ₂₂=135 (15%) – в диапазоне от 70 ºС до 90 ºС, и у N ₂₃=135 (15%) – более 90ºС.

У N ₃₁=810 исправных подшипников (90%) загрязнение смазки было в пределах нормы.

У L ₁₃=80 неисправных подшипников (80%) наблюдалась вибрация более 16 м/с², у L ₁₂=10 неисправных подшипников (10%) вибрация в диапазоне от 12 до 16 м/с².

У L ₂₃=85 неисправных подшипников (85%) температура была более 90 ºС, а у L ₂₂=7 неисправных подшипников (7%) – в диапазоне от 70 ºС до 90 ºС.

У L ₃₂=80 неисправных подшипников (80%) загрязнение смазки было выше нормы.

Пусть

диагноз D ₁ –исправное состояние;

диагноз D ₂ – неисправное состояние;

признак k ₁ – вибрация, его разряды:

k ₁₁ –до 12 м/с²;

k ₁₂– от 12 до 16 м/с²;

k ₁₃ – более 16 м/с²;

признак k ₂ – температура, его разряды:

k ₂₁ – диапазон до 70 ºС;

k ₂₂ – диапазон от 70 до 90 ºС;

k ₂₃ – более 90 ºС;

признак k ₃ – загрязнение смазки, его разряды:

k ₃₁ – в пределах нормы;

k ₃₂ – выше нормы.

Сведём исходные данные в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

Исходные данные

Диагноз D_i	Вибрация, м/с²			Температура, ^оС			Масло
	k ₁₁	k ₁₂	k ₁₃	k ₂₁	k ₂₂	k ₂₃	k ₃₁	k ₃₂
	<12	12…16	>16	<70	70…90	>90	<N	>N
	P (k ₁₁/ D_i)	P (k ₁₂/ D_i)	P (k ₁₃/ D_i)	P (k ₂₁/ D_i)	P (k ₂₂/ D_i)	P (k ₂₃/ D_i)	P (k ₃₁/ D_i)	P (k ₃₂/ D_i)
D ₁	60%	20%	20%	70%	15%	15%	90%	10%
D ₂	10%	10%	80%	8%	7%	85%	20%	80%

Задание.

1. Рассчитать вероятность исправного и неисправного состояний подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне до 12 м/с² (k ₁₁), температуры в диапазоне от 70 до 90 ºС (k ₂₂), загрязнения смазки выше нормы (k ₃₂).

2. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001-го подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация свыше 16 м/с² (k ₁₃), температура от 70 до 90 ºС (k ₂₂), загрязнение смазки меньше нормы (k ₃₁).

Решение. По условию поставленной задачи, общее число обследованных подшипников N =1000, число исправных N ₁=900, число неисправных N ₂=100. Следовательно: