Обобщённая формула Байеса

Обобщённая формула Байеса относится к случаю, когда обследование проводится по комплексу признаков K,включающему признаки k ₁ ,k ₂ ,…,k_v. Каждый из признаков k_j имеет m_j разрядов (k_{j 1}, k_{j 2} ,…, k_js,…, k_jm). В результате обследования становится известной реализация признака

k*j=kjs,

(1.6)

и всего комплекса признаков K*. Индекс * означает конкретное значение признака. Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид

,

(1.7)

где P (D_i /K*) – вероятность диагноза D_i после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K; P (D_i) – предварительная вероятность диагноза D_i (по предшествующей статистике).

Формула (1.7) относится к любому из n возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний, и потому

.

(1.8)

В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний А ₁ ,…,А_r, причём некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных диагнозов D_i следует рассматривать отдельные состояния D ₁ =A ₁ ,…, D_r=A_r и их комбинации D_{r+ 1} =A ₁ ∩A ₂.

Перейдём к определению P (D_i/K*). Если комплекс признаков состоит из v признаков, то

,

(1.9)

где k^*_j = k_js – разряд признака, выявившийся в результате обследования.

Для диагностирования по независимым признакам:

.

(1.10)

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними. Вероятность появления комплекса признаков K^*

.

(1.11)

Это равенство часто называют формулой полной вероятности события К *, происходящего вместе с полной группой событий. Формула полной вероятности является фундаментальной во многих вопросах теории вероятности потому, что она отражает следующий принцип: если система имеет несколько возможных несовместных путей перехода в другое состояния, то вероятность перехода равна сумме вероятностей осуществления каждого из них. Несовместные пути (или события) – это пути (события), которые не могут реализовываться одновременно.

Пример. Применение формулы полной вероятности. Прибор может иметь два режима работы, при этом в нормальном режиме работы прибор может находиться с вероятностью P (D ₁)=0,8, а в ненормальном – с вероятностью P (D ₂)=0,2. Вероятность поломки прибора в течение заданного интервала времени t при его работе в нормальном режиме составляет P (t / D ₁)=0,1, а в ненормальном – P (t / D ₂)=0,7. Найти полную вероятность выхода из строя прибора за указанный интервал времени t.

По формуле (1.11) определяем

.

Следовательно, вероятность поломки прибора при его работе в нормальном или ненормальном режимах за интервал времени t составляет 0,22.

 

Обобщённую формулу Байеса можно записать в следующем виде:

,

(1.12)

где P (D_i / K*)определяется равенством (1.9) и (1.10). Из соотношения (1.12) вытекает

,

(1.13)

что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.

Следует обратить внимание на то, что знаменатель обобщённой формулы Байеса одинаков для всех диагнозов. Это позволяет сначала определить вероятности совместного появления данной реализации комплекса признаков и i -го диагноза

.

(1.14)

И затем апостериорную вероятность диагноза

.

(1.15)

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Пример. Применение формулы Байеса. Известно, что 90% подшипников качения вырабатывают ресурс в исправном состоянии. Признак k ₁ – повышение температуры масла выше нормальной на 40^оС – встречается у исправных подшипников в 5% случаев. Необходимо определить вероятность исправного состояния подшипника при появлении признака k ₁. Примем, что D ₁ – исправное состояние, а D ₂ – неисправное. Положим, что известно: P (D ₁)=0,9; P (D ₂)=1– P (D ₁)=0,1, P (k ₁/ D ₁)=0,05; P (k ₁/ D ₂)=0,95. По формуле (1.12)

.

Таким образом, если в процессе наблюдения за состоянием подшипника зафиксировано повышение температуры масла выше нормальной на 40^оС, то вероятность исправного состояния подшипника составляет 0,32.

Если реализация некоторого комплекса признаков К* является детерминирующей для диагноза D_p, то этот комплекс не встречается при других диагнозах:

.

Тогда, в силу равенства (1.12)

.

(1.16)

Таким образом, детерминистская логика установления диагноза является частным случаем вероятностной логики. Формула Байеса может использоваться и в том случае, когда часть признаков имеет дискретное распределение, а другая часть — непрерывное. Для непрерывного распределения используются плотности распределения. Однако в расчётном плане указанное различие признаков несущественно, если задание непрерывной кривой осуществляется с помощью совокупности дискретных значений.