Метод минимального риска

Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риска

(9.1)

где диагноз D ₁ соответствует исправному, а D ₂ – дефектному состоянию объекта; C ₂₁ – цена ложной тревоги; C ₁₂ – цена пропуска дефекта (первый индекс – принятое состояние, второе – действительное); C ₁₁, С ₂₂ – цены правильных решений (условные выигрыши), которые для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательными. В задачах надёжности стоимость пропуска дефекта обычно существенно больше стоимости ложной тревоги (С ₁₂>> С ₂₁).

Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта.

Иногда цены правильных решений C ₁₁и С ₂₂ принимают равными нулю. Тогда средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством

(9.2)

Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (9.1) и (9.2) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска.

Найдём граничное значение x ₀из условия минимума функции среднего риска

(9.3)

 

Дифференцируя  (9.3) по x и приравнивая производную нулю, получим условие экстремума

,

(9.4)

или

(9.5)

Это условие часто определяет два значения x ₀, из которых одно соответствует минимуму, второе – максимуму риска (Рис. 8.1). Соотношение (9.5) является необходимым, но недостаточным условием минимума. Для существования минимума R в точке x=x ₀вторая производная должна быть положительной , что приводит к следующему условию относительно производных плотностей распределений:

(9.6)

Если распределения  и  являются, как обычно, одномодальными (т.е. содержат не более одной точки максимума), то при

,

(9.7)

условие (9.6) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит положительная величина, а при   производная f’ (x / D ₁)<0, тогда как при значение f ' (x / D ₂)>0.

В дальнейшем под x ₀будем понимать граничное значение диагностического параметра, обеспечивающее по правилу (9.2) минимум среднего риска. Будем также считать распределения f (x / D ₂) и f (x / D ₁) одномодальными («одногорбыми»).

Из условия (9.5) следует, что решение об отнесении объекта при заданном x к состоянию D ₁ или D ₂ можно связать с величиной отношения правдоподобия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распределения при двух состояниях называется отношением правдоподобия.

По методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x:

, если ;	(9.8)
, если .	(9.9)

Эти условия вытекают из соотношений (9.1) и (9.5).

Условие (9.8) соответствует x<x ₀, условие (9.9) x>x ₀ Величина  представляет собой пороговое значение для отношения правдоподобия. Учтём, что диагноз D ₁ соответствует исправному состоянию, D ₂ – неисправному (дефектному) состоянию объекта; C ₂₁ – цена ложной тревоги; C ₁₂ – цена пропуска дефекта (первый индекс – принятое состояние, второе – действительное); C ₁₁ < 0, C ₂₂ < 0 – цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся, и тогда получим

.

(9.10)

Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, так как логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своим аргументом. Расчёт для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще.

Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распределение при исправном D ₁ и неисправном D ₂ состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым.

В рассматриваемом случае плотности вероятности

(9.11)

Подставляя эти соотношения в равенство (9.5) и обозначая х = х ₀, после логарифмирования получаем

(9.12)

Из этого уравнения (9.12) получим

(9.13)

При  величина ; при  случайная величина .

Для случая σ ₁ ¹ σ ₂, т.е.

(9.14)

получим следующие выражения

,
.	(9.15)

Решая это уравнение, получим квадратное уравнение следующего вида:

,

(9.16)

здесь .

Напомним, что .

Пример

Задача. Диагностика механизма осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение температуры подшипникового узла составляет =50°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁=15°C. При наличии повышенного износа =100°C, σ ₂=25°C. Распределения предполагаются нормальными.

Определить предельное значение x ₀, рассчитать вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска дефекта и средний риск

, , , .

Так как сумма вероятностей исправного и неисправного состояний равна единице, то

.

На рис. 9.1 приведены графики следующих функций: Рис. 9.1

,

.

Рис. 9.1. Исходные плотности вероятности признаков

На рис. 9.2 приведены графики с учётом априорных вероятностей исправного и неисправного состояний: Рис. 9.2

,

.

Рис. 9.2. Плотности вероятности с учётом априорной вероятности

На рис. 9.3 приведены графики функций с учётом априорных вероятностей состояний и стоимостей принятия решений, а также функция риска R (x): Рис. 9.3

,

,

Рис. 9.3. Плотности вероятности с учётом априорных вероятностей,стоимости ложной тревоги и стоимости пропуска дефекта, функция риска R (x)

Решение. По методу минимального риска:

.

Выразим выражение (С ₁₂ – С ₂₂)/(С ₂₁ – С ₁₁) из имеющихся данных.

, ,

.

Получим

,

где плотности распределения равны:

,

.

Подставив полученные плотности распределения в формулу выше, получим квадратное уравнение относительно х = х ₀:

.

Подставим известные значения и решим уравнение.

.

Это уравнение имеет положительный корень x ₀ = 65,698°C.

Проведём проверку:

, ,

, .

Теперь найдём вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта:

,

.

Далее найдём средний риск по формуле (9.1):

.

Выводы.

В результате расчёта по методу минимального риска получили предельное значение диагностического параметра x ₀ = 65,698°C, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации. При этом вероятность ложной тревоги составляет Р_ЛТ = 0,1225, вероятность пропуска дефекта Р_ПД = 0,0128. Найдена величина среднего риска, которая составляет
R = – 0,119 C ₂₁.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение отношению правдоподобия.

2. Поясните понятие «вероятность ложной тревоги».

3. Поясните понятие «вероятность пропуска цели (дефекта)».

4. Каков критерий метода минимально риска?