2020-09-24
1123
Во многих практических ситуациях и реальных условиях применения вероятностно-статистических методов принятия решения при оценке риска принятия ошибочного решения бывает затруднительно предсказать достаточно реалистические стоимости и априорные вероятности. Эту трудность можно довольно просто обойти, если иметь дело с условными вероятностями ложной тревоги и обнаружения цели (дефекта).
Вообще говоря, хотелось бы сделать РЛТ как можно меньше, а (1– РПД) как можно больше. В большинстве задач, имеющих практическое применение, эти цели являются противоречащими друг другу. Очевидное решение проблемы заключается в том, чтобы ограничить одну вероятность и максимизировать (минимизировать) другую.
В этом случае центр проблемы переносится на обоснованный выбор допустимого уровня ошибок с помощью предыдущего опыта или интуитивных соображений.
По методу Неймана – Пирсона минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги. Таким образом, вероятность ложной тревоги должна удовлетворять условию:
|
|
|
| (13.1) |
где А – заданный допустимый уровень вероятности ложной тревоги;
P 1 – вероятность исправного состояния. Рис. 8.1
Отметим, что обычно условие (13.1) относят к условной вероятности ложной тревоги (множитель P 1 отсутствует). В задачах технической диагностики значения P 1 и P 2 в большинстве случаев известны по статистическим данным.
Из рис. 8.1 видно, что при увеличении ошибки ложной тревоги (сечение x 0 перемещается влево) величина ошибки пропуска дефекта уменьшается. Ее наименьшее значение будет соответствовать знаку равенства в (13.1):
| (13.2) |
Теперь условие (13.1) однозначно определяет величину x0 и значение риска.
Остановимся на выборе значения А – допустимого уровня ложной тревоги (риска поставщика). В практических задачах можно принимать
 ,
| (13.3) |
где k – коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей способности диагностических средств, опасности дефекта, экономических затрат и других обстоятельств.
При дефектах с ограниченными последствиями можно принимать
 .
| (13.4) |
При опасных дефектах принимают k= 3…10. Для редко встречающихся (P 2<0,01), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности может достигать и больших значений.
В задачах технической диагностики можно использовать и другой подход: определять граничное значение x 0, исходя из выбранной вероятности пропуска дефекта. В этом случае
| (13.5) |
где B – заданное значение вероятности пропуска дефекта.
Трудно указать общие правила для назначения величины B, она должна выбираться с учётом указанных ранее соображений. Если дефект крайне нежелателен на единичном изделии, можно принимать
|
|
|
| (13.6) |
где N – общее число изделий, находящихся в эксплуатации;
k – коэффициент избыточности (1 ≤ k < 10).
Во всех случаях для реализации принципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть малой (B <0,01).
При практическом решении подобных уравнений целесообразно использовать метод Ньютона, полагая, например
 .
| (13.7) |
Пример
Задача. Диагностика механизма осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение подшипникового узла составляет 
=50°C и среднее квадратичное отклонение σ 1=15°C. При наличии повышенного износа 
=100°C, σ 2=25°C. Распределения предполагаются нормальными.
Определить предельное значение x 0, рассчитать вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска дефекта и средний риск, если известно, что
, 
, 
, 
.
Решение. Так как сумма вероятностей исправного и неисправного состояний равна единице, то
.
Решим эту задачу по методу Неймана – Пирсона:
За коэффициент избыточности k возьмём 1.
Тогда 
.
Найдём необходимые величины для расчёта по методу Ньютона, а также плотность распределения:
, 
, 
,
, 
.
Решаем уравнение по методу Ньютона:
.
Первое приближение определяем как среднее арифметическое:
.
Выполнив шесть итераций, получим:
, 
,
, 
,
.
В результате корень уравнения принимается равным 63,933оC.
Теперь найдём вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта:
,
.
Далее найдём средний риск по формуле (9.1):
,
.
На рис. 13.1 приведены графики функций распределения плотности вероятностей f (x)для исправного D 1 и неисправного D 2 состояний, а также функции риска R (x) и вероятности пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги φ (x):
Рис. 13.1. Плотности распределения вероятностей,
функции риска R (x) и вероятности пропуска дефекта φ (x)
Выводы
В результате расчёта по методу Неймана-Пирсона получили предельное значение диагностического параметра x 0 = 63,933°C, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации. При этом вероятность ложной тревоги составляет РЛТ = 0,15, вероятность пропуска дефекта РПД = 0,011, а средний риск пропуска дефекта составляет R = – 0,115 C 21.
Контрольные вопросы
1. Каков критерий метода Неймана-Пирсона?
2. Каким образом находят экстремум?
3. Какой метод используют для решения уравнения и определения граничного значения?
