Комбинированный метод хорд и касательных для решения уравнений

В методах хорд и касательных приближения «подходят» к корню только с одной стороны, что затрудняет оценку их погрешностей. Фактическая погрешность приближений часто оказывается гораздо меньше, чем показывают формулы их оценки, что приводит к лишним шагам при вычислениях с заданной точностью. Однако если эти методы применять не раздельно, а в сочетании друг с другом, то от указанного недостатка можно избавиться. Более того, при этом перестают быть нужными специальные формулы оценки погрешностей.

В каждом из случаев относительно знаков и последовательные приближения рассматриваемых методов находятся по разные стороны от корня.

Если обозначить приближения метода хорд через c_k, приближения метода касательных через c_k′, то точный корень х^* всегда находится между приближением по методу хорд и касательных: c_k ≤ х^* ≤ c_k′ или c_k^′ ≤ х^* ≤ c_k. Тогда отрезки стягиваются к корню, поэтому процесс уточнения с точностью до ε > 0 можно остановить сразу же, как только окажется , и взять в качестве приближенного корня середину отрезка:

Когда вычисления ведутся без заданной степени точности и на некотором шаге k в качестве приближения к корню выбрана средняя точка х^* между c_k, и c_k′, тогда

Процесс уточнения будет более быстрым, если для вычисления c_k₊₁ методом хорд вместо соответствующего неподвижного конца отрезка [ a; b ] использовать найденное методом касательных приближение c_k′, т. е. когда хорды проводятся через точки графика функции с абсциссами c_k, и c_k′.

Вычисление пары чисел c_k₊₁, c_k₊₁′ надо начинать с c_k₊₁′, которое определяется формулой метода касательных при соответствующем приближении с₀′. Затем отыскивается с_k₊₁. При этом благодаря комбинированию методов его вычисление упрощается, т.к. формула метода хорд становится единой, не зависящей от знаков производных.