Метод половинного деления для решения уравнений

РАЗДЕЛ 2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Тема 2.1 Приближенные решения алгебраических

И трансцендентных уравнений

Постановка задачи решения уравнений

Решение нелинейных уравнений с одной переменной является одной из задач вычислительной математики. Многие задачи из различных областей сводятся именно к решению уравнений. Всякое уравнение с одной переменной можно записать в виде:

f(x) = 0                                                           (1)

В общем случае определить точное решение уравнения (1) не представляется возможным, т.к. коэффициенты уравнения в большинстве случаев определяются экспериментально и являются числами приближенными, поэтому сама постановка задачи о точном решении теряет смысл. Возникает вопрос о нахождении приближенных значений корней, т. е. речь идет о численных методах.

 Пусть имеется уравнение вида: f(x) = 0, где f(х) - алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить такое уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с нужной точностью.

Задача нахождения корней обычно состоит из двух этапов:

1. отделение корней;

2. уточнение корней.

 

Отделение корней уравнения

Отделить корни уравнения – это значит, разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не более одного корня.

Отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Для этого строят график функции y = f(x) и абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ дадут значение корней уравнения (1). Задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

f₁(x) = f₂(x)                                                   

В этом случае строятся графики функций f₁(x) и f₂(x), а потом на оси ОХ отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Для графического отделения корней уравнения sin 2x – ln x = 0 преобразуем его к равносильному уравнению sin 2x = ln x и отдельно построим графики функций у=sin 2x и у=ln x.

 Из графика видно, что уравнение имеет единственный корень и этот корень находится на отрезке [1; 1,5].

 

При решении задачи об отделении корней используют следующие теоремы:

1. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a; b ] принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(a)·f(b)<0), то уравнение (1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень.

2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [ a; b ], принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (1) имеет в интервале (a; b) единственный корень.

3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема в интервале (a; b), принимает на его концах значения разных знаков и производная f′(x) сохраняет знак в интервале (a; b), то уравнение (1) имеет в интервале (a; b) единственный корень.

 

Вычислим для проверки значения функции f(х) = sin 2x – ln x на концах отрезка [1; 1,5]: f (1) = 0,909298; f (1,5) = -0,264344. Как видно, корень на отрезке [1; 1,5] действительно имеется.

Для аналитического отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ. Практически нужно протабулировать функцию f(x) с шагом h. Как только обнаружится смена знака у пары соседних значений функции, то на соответствующем отрезке существует корень.

Уточнение корней уравнения

Метод половинного деления для решения уравнений

При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность ε приближенного значения корня. В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на ε.

Пусть уравнение (1) имеет на отрезке [ a; b ] единственный корень, причем функция f(х) на этом отрезке непрерывна.

 

 

 

Разделим отрезок [ a; b ] пополам точкой с = (а + b)/2. Если f(с) ≠ 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: f(x) меняет знак либо на отрезке [ a; с ], либо на отрезке [ c; b ]. Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Метод половинного деления вполне можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [ a; b ], содержащий корень, то, приняв приближенно x = (a + b) / 2, получим ошибку, не превышающую значения ∆x = (b – a) / 2.

 

Пусть имеется уравнение вида f(x) = 0 и на отрезке   отделен корень х^*. Функция   имеет разные знаки на концах этого отрезка, а ее производные  и  на этом отрезке знака не меняют. При этих условиях возможны следующие случаи расположения кривой: