1. Для любого действительного числа определено одно из соотношений:
а)
б)
в)
2. Если и , то ; .
3. Если , то говорят, что число больше и пишут .
4. Для любых двух действительных чисел и установлено одно из соотношений:
а) ;
б) ;
в) .
5. Отношение обладает таким свойством: если и , то .
6. Отношение обладает таким свойством: а) если и , то .
б) если , то .
Причем, это выполняется .
Замечание1. Вместо пишут также .
2. Запись (или ) означает, что либо , либо ().
3. а) Соотношения , , , называются неравенствами.
б) Соотношения , называются строгими неравенствами.
Непрерывность действительных чисел (принцип Дедекинда)
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831 – 1916) – немецкий математик, дал обоснование теории действительных чисел.
Пусть и – два множества, состоящие из действительных чисел. Тогда, если для любых чисел , выполняется неравенство , то существует хотя бы одно число , такое что выполняется неравенство: .
Другими словами: множество действительных чисел непрерывно, в нем нет пробелов.
|
|
Аксиома Архимеда
Архимед ( 287– 212 лет до н. э.) – древнегреческий ученый.
Каково бы ни было число , которое больше , т.е. .
Перечисленные свойства являются аксиомами действительных чисел.
Дополнительные свойства действительных чисел
Рассмотрим далее свойства, которые выполняются .
1. Число является решением уравнения .
Доказательство
1) Прибавим к левой и правой частям уравнения число , получим .
2) Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, перепишем выражение .
3) На основании 4 свойства сложения действительных чисел можно написать .
4) На основании 3 свойства сложения действительных чисел выражение примет вид или .
5) Для существования решения нужно проверить, что число является решением уравнения.
а) Подставим в уравнение число .
б) Получим или , или .
в) Тогда или – решение уравнения .
ч. т. д.
Замечание. Число называется разностью чисел и и пишется .
2. Число является решением уравнения , если .
Доказательство
1) Домножим обе части уравнения на число , получим , или , или в соответствии с 1 и 2 свойствами умножения действительных чисел.
2) В соответствии с 4 и 3 свойствами умножения действительных чисел можно записать или .
3) Осуществим проверку:
а) Подставим число в уравнение .
б) Получим , или , или .
в) Затем или – решение уравнения .
ч. т. д.
Замечание. Число называется частным чисел и и обозначается или , .
3. Если , то .
Доказательство
1) Так как , то или на основании 3 свойства сравнения действительных чисел.
2) Прибавим к обеим частям неравенства число , получим .
|
|
3) Используя переместительный, сочетательный законы, 4 и 3 свойства сложения действительных чисел, можно записать , или , или .
ч. т. д.
Замечание. а) Если , то ;
б) Если , то .
4. Если и , то .
Доказательство
1) Пусть и .
2) Прибавим к обеим частям первого неравенства число , а к обеим частям второго неравенства число ; с учетом свойства сравнения 6(б): и .
3) С учетом переместительного свойства сложения: и .
4) С учетом свойства сравнения 6(а): (, то ).
ч. т. д.
5. Если и , то .
Доказательство
1) Так как , то (с учетом дополнительного свойства 3) или (в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).
2) Так как , то (в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).
3) Рассмотрим два неравенства и .
4) С учетом дополнительного свойства 4 можно записать или при использовании 3 или 2 свойств сравнения действительных чисел.
ч. т. д.
6. .
7. Если , то .
8. .
9. Если и , то .
Доказательство
1) Так как , то с учетом замечания к дополнительному свойству 3.
2) Известно, что если и , то на основании 2 свойства сравнения действительных чисел.
3) Тогда, если и , то , или , или (с учетом замечания (б) дополнительного свойства 3).
ч. т. д.
10. Если и , то .
Доказательство
1) Так как , то на основании замечания (б) к дополнительному свойству 3.
2) В силу дополнительного свойства 9, если и , то или .
ч. т. д.
11. Если , то .
Доказательство
1) Если , то , тогда в силу дополнительного свойства 10 или .
2) Если , то , тогда или в силу свойства сравнения 2.
ч.т.д.
Модуль
Тема №1