Прямая линия на плоскости

Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке B (0, b) под углом j к оси абсцисс (рис.4.6). Тангенс угла наклона прямой tg(φ) называется угловым коэффициентом и обозначается k.

Выберем на прямой произвольную точку M (x, y) (такая точка называется текущей). В треугольнике МВС тангенс угла МВ С равен . Из чертежа следует

tg j = = k (1.8)

сохраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Выразив из (1.8) y, получим "уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"

или (1.9)

Рис. 1.8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если b = 0, то прямая проходит через начало координат. Если k = 0, то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b. Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N (x ₀, y ₀) (рис. 1.9), то

k = tg j = (1.10)

Уравнение (1.10) называется "уравнение прямой, проходящей через данную точку".

Рис. 1.9. Уравнение прямой проходящей через данную точку.

Если даны координаты двух точек N (x ₀, y ₀) и M (x ₁, y ₁), через которые проходит прямая, то

и уравнение

(1.11)

называется "уравнение прямой, проходящей через две данные точки"

Рис. 1.11. Угол между двумя прямыми

Угол α между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k ₁=tg(φ₁) и k ₂= tg(φ₂) (рис 1.11). Если через точку пересечения прямых провести прямую, параллельную оси ОХ, то из чертежа следует, что α = φ₂ – φ_1.По формулам тригонометрии тангенс разности двух углов равен

(1.12)

Условие параллельности прямых φ₂ = φ₁: k ₁= k ₂;

Условие перпендикулярности прямых φ₂ – φ₁ = 90⁰: 1= - k₁ k₂или .

Общее уравнение прямой. Любое из уравнений прямой можно привести к виду

Ах + B y + С = 0. (1.13)

Например, для уравнения (1.9) A = k, B = -1, C = b. Аналогичные вычисления можно проделать для уравнений (4.10) или (4.11). Тем самым. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени Ах + By + С = 0. Если В 0, то уравнение (1.13) можно привести к виду (1.9)

, k = , b = .

Если С = 0, то прямая проходи через начало координат.

Если А = 0, В 0, то у = (рис. 1.12а). Прямая параллельная оси ОХ.

Если В = 0, А 0, то получим уравнение Ах + С = 0 или x = - . Это уравнение определяет прямую параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке х = а (а = - ) (рис. 1.12.б).

а б

Рис.1.12. Прямые линии на плоскости, параллельные осям координат

Уравнение Ах + Ву + С = 0 описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.

Деление отрезка на две равные части. Если даны координаты концов отрезка А (х ₁, у ₁) и В (х ₂, у ₂), то координаты середины отрезка тоски С (х ₃, у ₃) находятся по формуле

(1.14)

Пример. Даны координаты вершин треугольника А (-3,-3), В(2,7) и С (5,1) (рис. 1.13). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем уравнение прямой, проходящей через две точки (1.11):

AВ: или у = 2х + 3. Угловой коэффициент k = 2.

Аналогично, по той же формуле (1.11)

АС: или у = 0,5х -1,5. Угловой коэффициент k = 0,.5.

СВ: или у = -2 х + 11. Угловой коэффициент k = -2.

Рис. 1.13.

Тогда тангенс угла А определяется по формуле (1.12) тангенса угла между прямыми:

, k₁=2, k₂ = 0,5. Следовательно

Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам (1.14), следовательно,

АК или

Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС. Из условия перпендикулярности прямых . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку (1.10) А: