Системы координат на плоскости

Декартова система координат. Прямая, на которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке O – начале системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную - осью ординат.

Каждой точке плоскости M сопоставляется ориентированный отрезок OM (радиус-вектор) с началом в точке О и концом в точке M. Спроектируем точку М на оси координат (рис.1.1). Каждой точке плоскости M сопоставляется упорядоченная пара чисел (х, y), которые называются декартовыми координатами точки М (х, у). В любой системе координат существует взаимно однозначное соответствие между точкой и ее координатами.

Рис. 1.1. Декартова система координат

На плоскости расстояние d между двумя точками M (х_i, y_i) и N (x_j, y_j) измеряется по прямой и вычисляется по формуле длины вектора

(1.1)

или d ² = (x _i - x _j)² + (y _i - y _j)²

Пример. Найти расстояние d между двумя точками M (-3,4) и N ((5.2). Согласно формуле (1.1) имеем

Полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку O, называемую полюсом, исходящая из нее полуось OP, называется полярной осью. На полярной оси указываем единицу масштаба. В этой системе координат (рис. 1.2) положение точки M задается ее расстоянием r до полюса (т. е. длиной отрезка OM, называемого полярным радиусом точки M) и углом j, который составляет полярный радиус с полярной осью (положительный отсчет угла идет против часовой стрелки). При этом область значений угла j ограничена: -p < j p или 0 j <2p. Числа r и j называются полярными координатами точки М (r, j). Полюс имеет единственную координату r = 0.

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс совпадают с полюсом и осью полярной системы координат (рис.1.3), то декартовы и полярные координаты точки М связаны м соотношением

х = r cosj y = r sinj. (1.2)

или

х ² + y ² = r ²(cos²j+ sin²j) = r ² . (1.3)

tgj = . (1.4)

Формулы (1.2) выражают координаты точки M в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе, формулы (1.3) и (1.4) выражают полярные координаты через декартовы.

Рис. 1.2. Полярная система Рис. 1.3. Связь полярной и

координат. декартовой систем систем координат

Рис. 1.4. Сдвиг системы координат.

Преобразование системы координат. Пусть даны две прямоугольные системы координат X ₁ Y ₁ и X ₂ Y ₂. Найдем связь координат точки M (x ₁, y ₁) в одной из систем координат с ее же координатами (x ₂, y ₂) в другой системе.

Параллельный перенос (сдвиг) системы координат (рис. 1.4.). В первой системе координат точка M имеет координаты (x ₁, y ₁), точка O ₁ имеет координаты (0, 0), точка O ₂ - (а, b), Во второй системе точка M имеет координаты (x ₂, y ₂). Координаты точки М в разных декартовых системах связаны соотношением.