Линейная зависимость, линейная независимость, ранг матрицы

Задача 29. Доказать, что третий столбец матрицы является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.

Решение.  Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений: 

 

Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го.

 отсюда видно, что , тогда .

Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2.   

Задача 30. Найти ранг матрицы .

Решение. Здесь есть невырожденный минор порядка 1, это любой ненулевой элемент. Также есть минор порядка 2,  например  

.

Чтобы выяснить, равен ранг 2 или 3, надо перейти к рассмотрению миноров 3 порядка, причём их можно рассматривать не все, а достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

Ответ. .

 

Задача 31. Найти ранг матрицы

Решение. Из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

теперь из 3-й строки вычтем 2-ю . 

Ниже главной диагонали получились нули.

Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.

Ответ. .

Задача 32. Найти ранг матрицы. .

Решение.

Метод 1. Выбираем окаймляющие миноры, начиная от левого верхнего угла. Видно, что минор 2 порядка не равен 0, поэтому ранг больше или равен 2. .

Вычисляя минор 3 порядка (а он здесь единственный, это и есть сам определитель матрицы) видим, что он равен 0.

. Тогда ранг не равен 3.

, но при этом . Остаётся единственный вариант: .

Метод 2. Преобразуем матрицу к треугольному виду.

Вычитаем из 2-й строки 1-ю, и из 3-й удвоенную 1-ю.

Теперь 2-ю строку, умноженную на 0,5, прибавим к 3-й.

Теперь видно, что 3-я строка состоит из нулей, поэтому ранг не может быть равен 3. Минор 2-го порядка тоже сразу виден, это .

Ответ. . 

 

Задача 33. Найти ранг матрицы .

Решение.  Вычтем из 2-й строки 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

 теперь из 3-й вторую: .

Во-первых, сразу видно, что есть угловой минор порядка 2, отличный от нуля. Ближайший окаймляющий для него содержит столбец из нулей, однако это ещё не значит, что ранг не может быть равен 3. Если рассмотреть другой окаймляющий минор, а именно, состоящий из 1,2 и 4 столбцов, то увидим, что ранг равен 3.

Ответ. .

Задача 34. Найти ранг матрицы .

Решение.

Теперь 2-ю строку, домноженную на 10, прибавим к 3-й.

.

Итак, исходная матрица сводится к такой, в которой уже есть треугольная структура в первых трёх столбцах.  

Очевидно, что обведённый минор равен 46, не равен 0. Он 3-го порядка, поэтому ранг равен 3.

Ответ. .

Задача 35. Найти ранг матрицы и базисный минор. .

Решение. Преобразуем матрицу:   

Сначала из 2 строки вычитаем 1-ю, домноженную на 2, то есть вычитаем строку (2 4 6) а из 3-й 1-ю, домноженную на 5, т.е. строку (5 10 15). Затем к 3-й прибавляем 2-ю с коэффициентом 7.

Видно, что базисный минор не может быть в левом верхнем углу, потому что во 2-й строке два нуля. Зато можно найти минор 2 порядка, состоящий из частей 10и 3 столбца, либо 2 и 3-го.

 

Минор порядка 3, то есть сам определитель всей этой матрицы, равен 0, так как третий столбец содержит только нули. Поэтому ранг равен 2, а не 3. Ответ. .