Практики 5 и 6 (неделя с 28 сентября по 4 октября)

Задача 36. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем матрицу. Ко второй строке прибавим 1-ю, а от 3-й отнимем удвоенную 1-ю.  

теперь к третьей прибавим вторую, получим  .

Ранг равен 3, так как есть невырожденный минор 3 порядка.

Ответ. . 

Задача 36-А (вариант прошлой задачи, но с параметром).

Найти параметр , при котором ранг матрицы равен 2:

Решение.

Третья строка состояла бы из всех нулей, только если , то есть .     Ответ. .

(№ 36 с группой 520 уже прошли)

Задача 37. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.

.

Видно, что 4-я строка из нулей, поэтому ранг не равен 4, то есть . Минор порядка 2 легко находится в верхнем левом углу, но угловой минор порядка 3 равен 0. Однако это ещё не значит, что ранг равен 2, ведь можно отступить к правому краю матрицы и взять минор с разрывом, из 1,2,4 столбцов, например такой:

Этот минор невырожденный, и он тоже является окаймляющим (ведь он полностью включает в себя квадрат, закрашенный жёлтым). Мы нашли базисный минор порядка 3. Также можно было рассматривать аналогичное в 1,2,5 столбцах, тоже минор порядка 3.

Ответ. . 

Задача 38....